前不久，我参与了一节教学观摩课的研讨全过程。教学内容是苏教版课程标准数学实验教材五年级（下册）“公倍数”。教材安排了两道例题。例1首先安排了用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米和8厘米的正方形的操作活动，并通过讨论“可以正好铺满哪个正方形”，引导学生具体感知公倍数的含义。再通过在小组里交流“这样的长方形纸片还能铺满边长是多少厘米的正方形”，逐步拓展已有的认识，丰富对公倍数的感知。在此基础上，结合具体实例描述公倍数的含义。例2首先提出：“6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？”让学生独立思考，自主探索解决问题的方法。教材提供了两种方法，突出用列举的方法寻找公倍数：一种是先分别列举6和9的倍数，再找出公倍数；另一种是先找出9的倍数，再从9的倍数中找6的倍数。最后介绍用集合图表示6和9的倍数和公倍数。
备课时，教师们对于例1的争论最多，有两种意见：一种认为五年级的学生已经具备相当的理解能力，对于公倍数的理解应该没有什么困难，是不是有必要通过铺一铺的操作活动引出公倍数？这样做，是不是太浪费时间？另一种认为这是苏教版课程标准数学实验教材的一个特点，通过具体直观的情境，能够让学生充分感知公倍数的含义，而且也更能突出数学的应用价值。争论一番后大家决定：先尊重教材，如果在实际教学中没有取得预期的效果就另行设计。对于例2，大家担心是否能出现如教材出示的两种情况，如果不出现，如何处理？
[第一次试教]
1. 教学例1。
教师出示长3厘米、宽2厘米的长方形以及边长分别为6厘米和8厘米的两个正方形。
师：用这个长方形去铺这两个正方形，猜一猜，能够正好铺满哪个正方形？
生：边长是6厘米的正方形。
师：能说说你的理由吗？
生1：因为6 × 6 = 36（平方厘米），2 × 3 = 6（平方厘米），36 ÷ 6 = 6（个）。
（教师指定多个学生回答，却没有一个学生能够从正方形的边长6厘米与长方形的长3厘米、宽2厘米之间存在倍数关系的角度去阐述能正好铺满的理由。）
于是教师请学生两人合作铺，而后组织交流。
师：为什么铺边长6厘米的正好铺满？铺边长8厘米的不正好铺满？
生1：8 × 8 = 64平方厘米，64 ÷ 6有余数。
生2：64不是6的倍数。
（由于教师没有及时引导，学生还是从“大面积除以小面积”的角度去思考，显然，这不利于学生理解公倍数的意义。最后，教师好不容易把学生的思维拉到从“倍数”的角度去思考，可是花费了很多时间。）
……
2. 教学例2。
教师出示：6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？
学生各自练习。
生1：6和9的公倍数有18、36、72、144……
师：你是用什么方法找的？
生1：先找到18，然后翻倍。
教师予以肯定，然后继续请学生回答。
生2：先找9的倍数：9、18、27、36、45、54……在这里再找6的倍数。它们的公倍数就是18、36、54……
生3：先找6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54……再从中找出9的倍数。它们的公倍数就是18、36、54……
（例题教学进行顺利，学生对于找6和9的公倍数好像没有什么困难。可是，当进入练习时，我发现坐在我周围的学生存在很大的问题。有的学生能够找到，但找不全，如找50以内4和6的公倍数，他们只找到12、24、48。这是什么原因？课堂上一一列举的方法也呈现了，学生到底是怎么啦？后经询问，原来受了生1那种方法的影响。因此，其他学生后来交流的列举方法就没有受到应有的重视。）
下课铃响了，学生对公倍数含义的理解以及找公倍数方法的掌握并不到位。再看教学各环节的时间分布，公倍数含义的理解花了近20分钟，找公倍数以及最小公倍数的理解花了10分钟，练习用了10分钟。似乎公倍数含义的理解用的时间过多，而找公倍数以及最小公倍数用的时间不足。
尽管教学的效果不理想，但是大家都注意到，这并非是教材的原因，而是教师引导不力，组织不当造成的。如，例1让学生猜一猜后不必马上让他们说理由，否则出现试教中的那种情况就比较难“收场”。另外，当学生自行探索寻找公倍数后，不能随意地让学生回答，而应组织有层次的反馈，等等。经过“失败”的尝试，大家又一起研究如何引导学生思考以及如何组织教学这两大问题上。
[第二次试教]
1. 教学例1。
屏幕出示长3厘米、宽2厘米的长方形以及边长分别为6厘米、8厘米的两个正方形。
师：请大家猜一猜，用这个长方形去铺，哪个正方形能够正好铺满？
生：边长是6厘米的那个。
师：没有其他意见吗？（学生摇头）那我们一起来铺一铺，看大家的猜想是否正确？
学生动手操作了起来，纷纷表示和猜想的结果一致。
屏幕出示：
师：当6正好既是3的倍数，又是2的倍数的时候，就可以正好铺满。
屏幕出示：
生：因为8虽然是2的倍数，但不是3的倍数，所以不能正好铺满。
师：请你们找一找，这样的长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形？
学生小组讨论，而后逐一报出：12厘米、18厘米、24厘米……教师分别板书，并分别让学生说出理由。
师：这些数有什么相同的特点？
生：这些数既是3的倍数，又是2的倍数。
师：像6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们就是2和3的公倍数。
……
（例1的教学自然流畅，用老师们的话说：教师教得轻松，学生学得轻松。这轻松自然的背后，不难发现是教师精心引导、恰当点拨的缘故。如学生动手铺后，教师提问：每行正好铺了几个？为什么？这个问题，将学生的思维直接引向倍数的角度去思考，就避免了出现与本课后续学习内容无关的回答。看似不经意的一个问题，起到了直奔主题、开门见山的作用。）
2. 教学例2。
学生自行寻找6和9的公倍数。
教师展现学生的一份“作品”：分别写出两个数的倍数后再找公倍数和最小公倍数。
师：这位同学是用什么方法找公倍数的？
生：他是分别找出了两个数的倍数再找的。
师：像这样写出两个数的倍数，再找它们的公倍数是我们常用的方法。哪些同学也是这样找的？（学生举手示意）有只写出一个数的倍数，再找公倍数的吗？
生：我是先找出9的倍数，然后再从里面找哪个也是6的倍数，这些数就是它们的公倍数。
生：我是先找出6的倍数，再从里面找出也是9的倍数的那些数。
师：刚才有的同学分别写出两个数的倍数再找公倍数，有的只写出一个数的倍数找出公倍数，这些都可以说成是一一列举的方法。还有同学用其他方法的吗？
生：我发现6和9的最小公倍数是18，然后把18乘2、乘3……就是它们的公倍数。
教师根据这位学生说的板书下来，接着让学生观察和列举方法找到的公倍数是否一致……
（解决问题的策略随着学生的交流逐渐趋向优化，学生的思维也随之层层深入。这顺畅的教学过程，好似教师有意布设？事实上，上述解题策略均来自于学生，教师布设的只是反馈的顺序。如教师在巡视中发现分别有列出两个数倍数的，于是就以这一方法作为交流的开始；然后提出：“有用只写出一个数的倍数，再找公倍数的方法吗？”搜索学生可能想到的其他方法；最后引导：“刚才有的同学分别写出两个数的倍数再找公倍数，有的只写出一个数的倍数找公倍数，这些都可以说成是一一列举的方法。还有同学用其他方法的吗？”既总结了前面的方法，又为更优化的方法的出现提供了机会。看来，同样的设计意图——都是让学生自行探索再组织交流，由于引导与组织的差异，呈现出不同的教学效果。）
[思考]
有效的课堂教学离不开引导与组织，引导与组织是一门艺术。
时下，在张扬个性、鼓励创新的教育观念影响下，很多教师变得谨慎起来。在课堂上，不敢多讲，也不敢多问，惟恐被冠以束缚思维、窄化空间的“帽子”。本该理直气壮的引导与组织变得小心翼翼起来。因为过分强调学生的主体性，反而使得教学效益降低。例如，第一次试教时，学生凭观察猜想后，教师不必急于问“为什么”，以此展现学生的思考过程。因为这时，有的学生可能凭直觉判断，很难用语言表述；有的学生根据已有的知识经验，用大面积除以小面积进行判断，虽然是正确的方法，但这一方法与本课教学内容的学习有一定距离。如果在这种方法上过多纠缠，学生就很难回到“倍数”的角度去思考，宝贵的教学时间也就被浪费了。《数学课程标准（实验稿）》明确指出：教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此，要让短短的四十分钟取得最大的效益，教师的引导与组织必须及时、到位。
首先，我们应该认识到——引导不是“传导”。教学不是将教师的经验或是文本的知识简单地传递给学生，换而言之，教师不是一个输出端口，学生也不是一个输入接口。同时，引导也不是“顺导”。它不是完全顺着学生的思维展开行动，也就是说，课堂上教师不能放任学生漫无目的、不着边际的发散。引导是指教师带着学生向某个目标行动。它带有明显的指向性。这就决定了课堂上无论是提问还是各项学习活动都要围绕既定的目标而设计，应该防止那些让学生无所适从或是可能导致学生思维无端发散的现象出现。如第一次试教，当学生猜想能够正好铺满边长是6厘米的正方形时，教师就应该考虑到学生受先前经验的影响，很容易会从“大面积里面包含有几个小面积”去思考，这与新授的需要相去甚远，因此我们应该回避这个问题，不应该提早让学生说理由。第二次试教，学生猜想后教师没有让学生讲理由，而是用铺一铺的操作活动进行验证，而后直截了当地提问：“为什么每行正好铺了2个？”问题指向性非常明确，学生自然而然就从“倍数”的角度去思考。由此，笔者认为：第二次试教的成功正是教师引导得当的结果。
其次，我们还应该认识到——组织不是“组合”，不是简单的教师问、学生答这样一加一似的相加。《现代汉语词典》这样解释：组织就是安排分散的人或事物使具有一定的系统性或整体性。可见，组织具有系统性或整体性，是为了完成教学目标而使各项学习活动有序的开展，使学生凌乱的思维、无序的思路逐渐有序、清晰起来，从而理解概念，完成知识建构。第一次试教中的例2教学，教师无意识地指定学生回答，使得那些思维水平一般的学生有些不知所措，影响了基本方法的掌握。第二次试教时，教师吸取了教训，在全班巡视的基础上，选了最为基本的列举两个数的倍数找公倍数的方法先展示，再用引导性的提问逐个呈现学生中出现的列举一个数的倍数再找公倍数、用最小公倍数依次扩大2倍、3倍……的方法。从思维角度讲，这些方法循序渐进，层层深入；从方法简捷程度讲，这些方法由复杂到简捷。这样有层次的反馈，符合学生的认知规律，有助于理解和掌握知识。
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