例谈数学习题的“加工”

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　　　　对知识的理解与应用往往体现在问题的解决之中，因此，为学生设计高质量的习题是完整的教学过程中一个不可缺少的重要环节。
　　　　数学习题浩如烟海，如果让学生长期陷于“题海”而不能自拔，非但不能提升数学素养，还会使他们产生厌学情绪。所以，作为学习活动的引导者，教师应该责无旁贷地担负起对习题进行适当加工的责任。这种加工的目的在于“放大”习题的价值，为学生获取知识提供优质、高效的载体。
　　　　1.注重“挑战性”，体现“一般性”。
　　　　原题：如图1，在一个边长为6cm的正方形中画一个最大的圆，求这个圆的面积。
　　　　改编：如图2，已知一个正方形的面积为32cm2，在这个正方形中画一个最大的圆，求圆的面积。
　　　　比较与分析：原题考查的是对s=πr2这一公式的机械运用，而改编题则独辟蹊径：因为不能直接求得r的长度，所以需要重新对s=πr2这一公式进行审视，从整体上寻找解题策略。
　　　　在图2中作辅助线成图3，r2（即图中小正方形的面积）=32÷4=8cm2
　　　　所以，圆的面积=π×8≈25.12cm2
　　　　实际上，后者的解题过程更具有一般性，并不是一定要知道圆的半径才能求出面积。有些教师告诉学生“要求面积必须知道半径”，这样做既违反了知识的科学性，又束缚了学生的思维。
　　　　“挑战题”例举：张叔叔用一个体积为12dm3的正方体木块削成一个最大的圆柱体。求圆柱体的体积。
　　　　2.突出“开放性”，体现“深刻性”。
　　　　原题：两根都是2米长的绳子，分别用去 和 米后，哪一根剩下的长一些？
　　　　改编：两根同样长的绳子，分别用去 和 米，哪一根剩下的长一些？
　　　　比较与分析：原题旨在考查学生对分率与具体数量的区分度，答案是唯一的，改编题除了涵盖原题的考查内容外，更突出了思维的深刻性：答案不唯一。有三种答案：
　　　　绳子长度＞1米时，第二根剩下的长；
　　　　绳子长度=1米时，两根绳子剩下的一样长；
　　　　绳子长度＜1米时，第一根剩下的长一些。即假定为 米，则第一根剩下 - × = （米），第二根剩下 - = = （米）。因此， 米＞ 米。
　　　　不难发现，减少一个条件之后，答案变得不确定起来，正是这种“不确定”，给学生提供了数学思考的空间，促进了思维的严密性与深刻性的发展。
　　　　“开放题”例举：一个等腰三角形，其中两个角的度数比是2∶1，请算出各个角的度数，再说出各是什么三角形。
　　　　3.强化“实践性”，体现“综合性”。
　　　　原题：下面图形中的阴影部分是原图的1/2吗？
　　　　
　　　　改编：学校有一块正方形的地，现在想把这块地面积的 种上花。请你帮助设计一个方案，使花圃面积正好占这块地的 。
　　　　比较与分析：学生设计这一方案，需要一定的综合技能，这不仅仅是单纯数学知识所能解决的。学生饶有兴趣地参与了设计活动，把对 的理解融入到了创作活动之中，他们的答案多姿多彩。如：
　　　　　
　　　　这样就加深了对1/2的理解。
　　　　“实践题”例举：有一个形状不规则的铁块，你能设计一个方案，求出它的体积吗？
　　　　4.关注“延展性”，体现“再生性”。
　　　　原题为选择题：把1根5米长的铁丝平均截成7段，每段是这根铁丝的（）。
　　　　A.B.C. 米
　　　　改编题：把1根5米长的铁丝平均截成7段，每段是这根铁丝的（）。
　　　　A.B.C. 米
　　　　选择以后，你能否利用原题的相关条件提两个问题，使它们的答案正好是剩下的两个备选答案吗？
　　　　比较与分析：改编题充分利用了备选答案这一宝贵资源，在运用中深化理解，在理解中进一步拓展认识。我们说，每一个答案对于某道特定的题来说，能否匹配，决定着答案的正误，所以为错误答案寻找合适的“母体”，是区分、思辨的过程，是对概念、定理等数学新知的最好注解。
　　　　“延展题”例举：“自圆其说”：订正完错误答案，对因理解偏差而形成的错误答案，请你为它们配上合适的“原型”，使错误答案变为正确。
　　　　习题优化处理的技巧很多，在此不再一一列举。但是，有一个前提是肯定的：那就是需要教师有一双慧眼，具有对习题资源的发掘意识和加工能力。惟有如此，才能提高教学效率，提高学生的数学素养。
　　　　作者单位
　　　　江苏省高邮市天山中心小学
　　　　◇责任编辑：曹文◇
　　　　
　　　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
　　

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