“分数的探究”教学设计

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　　原编者按：在“第五届新世纪小学数学课程与教学系列研讨会”武夷山会场，来自台湾的吕玉英老师执教的“分数的探究”一课，磁石般地吸引了与会的专家和教师代表。她在课堂上游刃有余、开放有度，牢牢地把握学生思维发展的方向，引领学生在课堂上生成一个又一个亮点，向大家诠释了她对教学的个性化理解及其与众不同的教学风格。为了展现该课精彩的教学过程，本刊编辑部编发了这节课的教学设计，以飨读者。在整理过程中，对于不太影响理解的名词术语、叙述方式，我们尽可能保持原貌。
　　
　　一、教学年级
　　
　　高年级（已学过等值分数）。
　　
　　二、教学时间
　　
　　1或2节（视学生的学习情况而定）。
　　
　　三、教学目标
　　
　　（一）诊断学生能以每盒内的物体个数不同，代表“全体”不同的情况下，了解分数的意义。
　　（二）认识分数在同类的单位“1”下比较大小。
　　（三）能将同类量但单位“1”不同的情境，转化为同类量且单位“1”相同的情境，并进行异分母分数的合成或分解。
　　（四）能拟题并列式，解决异分母分数的合成与分解。
　　（五）能解决简单的分数乘法问题。
　　
　　四、活动目标
　　
　　（一）认识1/2＞1/3，并举例说明其合理性。
　　（二）在离散量中，以单位“1”的不同，引出1/3盒单位分量的个数多于1/2盒单位分量的个数的认知冲突，以探究单位“1”相同的问题。
　　（三）因应单位“1”相同的必要性，在不改变原有条件下转化情境，对原来的分数重新描述，并解决异分母分数的比较、合成与分解的问题。
　　（四）在情境转化的过程中，体验分数乘法的活动。
　　（五）能举例，并列式解决异分母分数的合成与分解的问题。
　　（六）能以共测单位解决异分母分数的比较、合成与分解的问题。
　　
　　五、教学概说
　　
　　（一）分数的概念。
　　分数的发展始于处理除法中“余数”的再等分，因此部分/全体的运思是此阶段非常重要的认识发展。在处理余数再次等分后，以分数的形式表征，其中除数是“全体”，亦是单位“1”；余数是“部分”，亦是部分占全体的几分之几的关系描述，故单位“1”扮演着极其重要的角色。
　　学生学习分数时，往往记住等分后所得的分数数值，而忽略此分数的整体量“1”是什么。所以学生到了高年级解分数的应用题时，遇到单位“1”转换的情境，常不知题意，更谈不上如何解题。因此，隐藏于分数程序性知识背后的东西，其充分且必要条件是代表“全体”的“1”是一样的基础下才能运作。故本教学活动一方面诊断学生分数的概念，一方面以认知冲突突显“1”的重要性，并进行分数的比较、合成与分解的解题历程。
　　本阶段分数的合成与分解即是异分母分数的运算，故通分是解题的关键，其建基于等值分数概念理解下，才得以运作。因此本教学活动，期望学生能认识“共测单位”，以解决异分母分数的合成与分解问题。
　　（二）学生拟题。（略）
　　（三）转化能力。
　　数学概念的形成必须包含三个元素：一为情境（Situation)，一为表征（Presentation)，以及数学的不变性（Invariance)。一个概念形成时，应在情境的多元性、表征多样化下仍保持其数学之不变性，因此本教学活动利用情境改变，让分数的单位“1”成为共同单位量下，学生仍能掌握分数的内容物，学生透过情境转变对分数的表征重新描述，以建构分数之概念。同时，在异分母分数的运算历程中，能运用通分，以解决异分母分数的比较、合成与分解的问题。
　　
　　六、学生有关分数的先备知能
　　
　　（一）分数的多重意义中，至少掌握最基础的部分/全体之运思及实测的结果。
　　（二）认识真分数、带分数、假分数以及“1”与2/2、3/3等分数相等的意义。
　　（三）认识等值分数的意义，其表征虽然不同，但其数值是等价的。
　　
　　七、教学活动设计
　　
　　（一）诊断并提出问题。
　　1/2和1/3哪一个数比较大？你能不能用一个比萨或其他物品举例并说明它？
　　1.学生可能的回答：（1）1/2大于1/3。（2）写作1/2＞1/3。（3）其他。
　　2.学生可能拟题：（1）小英吃了一个比萨的1/2比小明吃一个比萨的1/3多。（2）其他。
　　（说明：学生凭直觉判断出1/2大于1/3，但对其理由不清楚，故要求学生举例说明，但教师期望学生能结合具体的情境说明在同类量且单位“1”相同的情况下才能进行比较。）
　　（二）提出问题，引起认知冲突。
　　小琪和小华在同一家商店买一样大小的蛋黄酥，小琪买的是一盒装有6个的，小华买的是一盒装有12个的。小琪吃了她的1/2，小华吃了他的1/3，请问他们谁吃得多？
　　学生可能的回答：（1）小琪的1/2比小华的1/3多。（2）小华的1/3比小琪的1/2多，因为小华的盒里面蛋黄酥的个数多。（3）其他。
　　（说明：教师提出单位“1”不同时，产生1/3比1/2多，这和前面的结论产生认知冲突，进而突显弄清单位“1”相同才能比较大小的重要性。）
　　（三）提出核心问题。
　　1.现在小琪吃她的蛋黄酥的1/2和小华吃他的蛋黄酥的1/3，比较之后却发现小华吃的1/3比小琪吃的1/2的蛋黄酥个数多。这和前面大家讨论的1/2大于1/3不同，这里到底发生了什么问题呢？
　　学生可能的回答：（1）小华吃了4个蛋黄酥，小琪吃了3个蛋黄酥，小华吃得多，因此比较个数就可以了。（2）1/3大于1/2是因为两盒中蛋黄酥的个数不一样，所以这样比较是不合理的。（3）如果要比较，必须使每一盒中蛋黄酥的个数一样多，这样比较才公平。（4）其他。
　　（说明：学生能探究1/3大于1/2与前面的1/2大于1/3所产生的矛盾，其理由是单位“1”不一样，所以是不能比较的。）
　　2.现在小琪吃她的蛋黄酥的1/2和小华吃他的蛋黄酥的1/3，要使他们能比较，我们需要把他们的蛋黄酥重新改装，使得每一盒的蛋黄酥数量一样多。请问：在不改变他们原来的蛋黄酥个数的情况之下，如何改装才能使每一盒的蛋黄酥个数一样多？
　　学生可能的回答：（1）把小琪的6个蛋黄酥当做一盒时，小华的12个蛋黄酥可以装成两盒。（2）把小华的12个蛋黄酥当做一盒时，小琪的6个可以装成半盒。（3）其他。
　　（说明：学生可以小组讨论，以多少个蛋黄酥当做一盒时，重新描述小琪和小华各有几盒蛋黄酥。）
　　3.现在每一盒里的蛋黄酥个数一样，请问：小琪吃原先的1/2盒蛋黄酥，现在应该说她吃了几盒？小华吃原来的1/3盒蛋黄酥，现在应该说

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　　学生可能的回答：（1）当一盒蛋黄酥是6个时，小琪吃的是1/2盒，小华吃的是2盒的1/3，所以是2/3盒。（2）当一盒蛋黄酥是12个时，小华吃的是1/3盒，小琪吃1/2盒的1/2，所以是1/4盒。（3）其他。
　　（说明：学生适应情境改变，对小华和小琪吃的蛋黄酥，在同样单位“1”下重新描述部分与整体的关系。）
　　4.现在每一盒里的蛋黄酥个数一样，请问现在小琪和小华谁吃得比较多？你是怎么知道的？
　　学生可能的回答：（1）小华吃2/3盒，小琪吃1/2盒，因此2/3盒比1/2盒多。（2）小华吃1/3盒，小琪吃1/4盒，所以1/3盒比1/4盒多。（3）其他。
　　（说明：学生能以等值分数来进行比较。）
　　（四）核心拟题。
　　1.依据上面情境的转化，想知道小琪和小华一共吃了多少盒蛋黄酥，请学生进行出题，并且解题。
　　学生可能的回答：（1）一盒蛋黄酥有6个，小琪吃1/2盒，小华吃2/3盒，请问他们一共吃多少盒？解题：1/2+2/3=3/6+4/6=7/6=1(1/6)（盒）。（2）其他。
　　（说明：学生能依照所给的信息与问题，拟出完整的情境题型。）
　　2.请说明解题过程与结果。
　　学生可能的回答：（1）1/2跟2/3都把分母切割成6等份时，则1/2是3/6，2/3是4/6，这样在同样6等份下就可以进行加法运算。（2）其他。
　　（说明：学生能说明异分母分数的合成，必须寻找分母的共通尺度来测量，才能进行运算。）
　　（五）延伸问题。
　　1.3/4- 1/3=（）。（1）请出题，并进行解题。（2）请说明其解题过程和结果。
　　学生尝试出题并解题。学生能说明解题算式与结果。
　　（说明：学生能在同样单位量下，描述3/4和1/2的意义下并出题和解题。）
　　2.学生各组拟出与今天的学习有关的问题，然后交换解题。
　　（说明：检核学生学习情况，并作为下节课数学材料选择的参考。）
　　
　　 （选自《小学青年教师·数学版》）
　　

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