最近，我执教了北师大版五上《三角形面积》一课作为课例研究的题材，前后共上了三次，在教学设计、课后研讨、自我反思的研磨过程中，我体会到在数学建模过程中，构建以数学理解为中心的课堂教学是本节课的关键所在。
一、数学建模与数学理解
在三角形面积一课中，我们不难发现，三角形面积计算公式就是一种数学模型。在建立这个数学模型的过程中，我们不但要帮助学生获得为什么底×高÷2就是三角形面积这一陈述性知识和程序性知识的数学理解，而且还要帮助学生获得活动的经验，数学的思维方式、思想方法，合作交流的意识等内隐的思想和能力。
如同数学建模的过程是分阶段、结构性完成的一样，数学理解的过程，也不是一蹴而就的，以本节课为例它就涵盖了以下的三个方面和两个阶段，三个方面指的首先是获得对三角形面积是什么这一陈述性知识的数学理解，它的标志就是学生获得了该对象的图式。
三角形面积作为一个命题(陈述性知识的最小单元)并不是孤立的存在，它与面积、长方形面积、正方形面积、平行四边形面积相互联系组成命题网络，存在于学生的头脑中，教师的任务就是通过学习材料、提问、操作这些活动，帮助学生在建立新旧知识联系的动态过程中，获得三角形面积与已经学过的图形面积之间的各种丰富且典型的表象模型，其中包括两类，一类是将两个完全一样的三角形拼成平行四边形；另一类是将单个三角形通过等积变形的方法转化为平行四边形，这是获得本节课数学理解的基础，其次是对前述所建立起的各种丰富且典型的直观表象进行整理、重组，抽取其中的本质特征及规律，即通过观察发现任意两个完全一样的三角形都可以通过割补的办法转化为平行四边形，接着发现三角形面积与平行四边形面积之间存在着联系与区别，三角形底和高与平行四边形底和高之间的联系也存在着区别，最后进行概括总结，从而帮助学生获得为什么底×高÷2就是三角形面积，以及我们是通过怎样的活动获得的。这些程序性知识的数学理解是获得本节课数学理解的关键，同时，上述的两个方面主要解决的是学生在公式理解中“是什么”、“为什么”、“怎样做”的问题，所以从数学理解的横向角度来看，是属于对公式进行数学理解的建构阶段，所以这个过程应是建构性理解阶段。三是应用三角形面积模型回到现实的问题情景中来解释问题，在这个过程中，学生势必会调动刚才活动的经验，应用转化的数学思想，提取自己的思维方式来对各种现实的问题进行解释，而学生就会在这个过程中对这些内隐的、动态的过程性知识获得体验与积淀，从而完成对数学理解的提升，同时，从数学理解的横向角度来看这一阶段是学生不断完善对三角形面积公式的数学理解阶段，所以这个过程应该是解释性理解阶段。
从以上的过程中，我们可以发现，数学理解伴随着数学建模的始终，如图l：
二、教学实践 ．
I一)问题导向，激活经验。
师：前面的课上我们学过了哪些图形的面积计算。
生1：长方形、正方形、平行四边形。
师：哪个图形的面积学习给你留下了深刻的印象?
生2：平行四边形。
师：能具体讲讲吗?(投影出示：平行四边形)
生3：我们在计算平行四边形面积的时候，是把它转化为长方形，但面积不变，所以给我留下了深刻的印象。
师：把一个不知道图形的面积转化为我们已经学过的这个图形的面积来计算，这是个好方法。(板书：转化)
师：今天，我们来学习三角形面积，我带来了四个图形(投影出示：平行四边形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形)，大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的的办法求出三角形面积呢!(课前已把这四个图形放在一个信封里发给了每个学生)
(二)建构丰富且典型的直观表象，比较分析抽象出面积公式。
教师巡视，并参与一些小组活动，大约三分钟后，教师组织反馈交流。
师：哪个小组愿意把成果和大家分享?
生1：我们小组是把平行四边形沿着对角线剪开得到两个一样的三角形，这样就可以知道一个三角形面积了。
师：怎样知道这两个三角形一样呢?(该生把两个三角形重叠起来，学生们点头同意，教师让学生把图形贴在黑板上)
师：这个办法不错，把平行四边形转化为两个一样的三角形，从而求出一个三角形的面积，其他小组呢?
生2：我们小组是把这个三角形(锐角)这样折一下，然后剪下来拼在这边，就是平行四边形。
(教师让学生把图形贴在黑板上如图2)
师：随便怎么折吗?
生2：不是，要这个顶点对着下面的底边。
师：那这两个图形之间的面积……
生2：是一样的。
师：把三角形转化为平行四边形，然后求平行四边形的面积就可以了，你们很会动脑筋。
师：还有其他办法吗?
生3：我们小组是这样想的，在这个直角三角形旁边虚构一个一样的直角三角形，这样就能拼成一个长方形，也就能求出一个直角三角形的面积了。
师：“虚构”这个词用得好，让我们都来试一试，看看用两个一样的直角三角形除了可以拼成一个长方形外，还可以拼成什么图形?(学生操作后，教师组织反馈)
生4：我们还拼成了平行四边形。
师：两个完全一样的直角三角形可以拼成平行四边形或长方形，这给了我们一个很好的启发，两个钝角三角形呢?两个锐角三角形呢?请同学们再去尝试拼一拼，看看可以拼成什么图形。(学生活动后，教师组织反馈，并把学生用两个一样的直角、钝角与锐角三角形拼成的平行四边形贴在黑板上)
师：现在，你能不能结合这组图形。(教师把黑板上用两个一样的三角形拼成的平行四边形用虚线框起来，如图3)说一说，只要知道什么条件就可以求出三角形的面积?
生7：底和高就可以了。
师：谁的底和高
生8：平行四边形的底和高(另一个学生在下面嚷到：三角形的也可以)
师：(教师故做惊讶状)你是怎样想的?
生9：平行四边形的底就是三角形的底，高也是一样，所以都可以。
师：你们听明白了吗?谁能再说说。
生10：平行四边形是由两个一样的三角形拼成的嘛，平行四边形的底就是三角形的底，它的高也是三角形的高。
师：你们的观察真仔细，那三角形的面积可以怎样算呢?
生11：底乘以高除以2。(教师板书：底×高÷2)
师：底乘以高算出的是什么图形的面积?(生齐说平行四边形)
师：除以2呢?(生齐说三角形面积)
师：如果用字母公式来表示的话，怎样写?(教师在学生不断的补充中完成板书：．s=n×^÷2)
(三)拓展与应用。
师：我们来看这幅图(教师指着把一个锐角三角形沿着中位线剪开后拼成的平行四边形的图形问)，大家能不能利用刚才观察这组图形的方法来看看这幅图中拼成的平行四边形与原三角形有什么关系?(学生陷人了思索中)
师：可以同位之间讨论一下。(不一会有学生举手)
生1：他们面积相等。
生2：底是一样的，高不一样了。
师：如果告诉你这个三角形的底是5厘米，高是4厘米，你能算出三角形的面积吗?请你写在练习本上。
师：谁来说说你是怎样算的?
生4：5×4÷2=10平方厘米。
师：可是我刚才看到有位同学是5×(4÷2)=10平方厘米，你能解释吗?
生5：(学生上前指着图形说)它们的底是一样的，高是一半的关系，这样就能算出平行四边形面积，也是三角形面积。 ’
师：这给我们一个启发，三角形面积公式还可以这样表示。(板书：接着刚才的三角形面积字母公式后写=a×(h÷2))
师：下面就让我们来链接生活，来解决一些实际问题。
投影呈现：(1)一条红领巾的底是100厘米，高是33厘米，做这样一条红领巾应该准备多大的布?(学生计算后，思考：100×33÷2是什么意思?)
(2)出示三个等底等高三角形，请学生计算面积!
(有些学生不去计算就可以知道三个三角形面积一样，有些计算一个就感知到三个面积一样，而有些要计算三个后才发现其实只要三角形等底等高，它们的面积就一样，利用学生的差异生成学习资源，使得全体学生体验到三角形的面积与底高之间的关系)
师：在今天学习的过程中给你留下深刻印象的是什么?
生6：学了算三角形面积。
生7：三角形的底和高一样的话，面积一样。
生8：三角形可以转化成长方形和平行四边形。
师：(投影出示一个梯形)如果我想求这个梯形的面积你想怎样做?
生9：可以把梯形转化为平行四边形。
生10：可以把梯形转化为两个三角形。
师：同学们很了不起，课后可以去尝试做一做。
三、课后反思
1．在数学建模过程中，问题导向。激活经验是构建以数学理解为中心的课堂教学的前提。
本节课开始时教师就从数学内部知识之间的联系人手，向学生提出了“哪个图形的面积学习给你留下了深刻的印象?”，这个问题带有很强的综合性，学生要调动已有的知识、方法、思维方式等经验加以解读，同时回答将再次唤醒学生脑海里对有关面积计算实现数学理解过程的回忆，而这是顺利开展接下来的数学活动，建构对三角形面积理解的重要基础，其次问题要具有一定探索性和研究性，要让学生经历一个实践、探索和研究的历程，例如教师的下一个问题“今天，我们来学习三角形面积，我带来了四个图形，大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的的办法求出三角形面积呢!”，这个问题无论从开放性而言，还是思路和方法多样性而言，都起到了明确的导向作用，从而为学生经历建模过程，达成数学理解提供了前提。
2．在数学建模过程中，操作活动、丰富且典型的直观表象模型建立是构建以数学理解为中心的课堂教学的基础。
本节课中教师安排了两次操作活动，第一次的目标是运用转化的思想借助操作活动建立丰富的直观表象模型，为学生的数学理解提供“脚手架”，第二次是一位学生用两个完全一样的直角三角形拼出长方形后，教师再次组织全体学生用两个钝角三角形、两个锐角三角形看看能不能拼出除长方形以外的其他图形，目标是在前面丰富表象的基础上聚焦典型——三角形面积理解的一般意义所在即任意两个完全一样的三角形都能拼出平行四边形，从而使得学生对三角形面积的数学理解更为本质。 ．
3．在数学建模过程中。充分的思考、交流空间是构建以数学理解为中心的课堂教学的关键。
课堂上教师提出“大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的办法求出三角形面积呢?”后，为学生留出了较为充裕的思考与实践的时间，学生多种操作思路和方法所得出的表象模型就是例证。得出各种结果后，教师尽可能全面地把握学生的多种情况，努力搜集和捕捉学生中好的资源，并采用“原图形+转化后图形”(见图2)的展呈方式呈现各种资源，为接下来的交流以及分析比较、公式抽象提供了很好形象支撑；其次，充分交流，资源共享，有效互动，促进理解。当各种资源呈现之后，教师有必要组织学生进行交流，经过学生个体的独立思考、个人的经历和体验以及学生群体之间的讨论和思维碰撞而形成正确的认识。在交流和讨论的过程中，教师则关注捕捉信息、判断信息和处理信息，从而形成师生、生生之间的有效互动，这个过程将促进学生从建构性理解向解释性理解递进，从而达到“资源共享，有效互动，促进理解”之目的。
4．在数学建模过程中，应用与拓展是对构建以数学理解为中心的课堂教学的提升。
对数学模型进行应用与拓展是对数学理解的提升。教师首先引导学生利用在两个完全一样的三角形拼成平行四边形中习得的观察方法，去观察等积变形直观模型中拼成的平行四边形与原三角形之间的关系，得出了三角形面积公式的变式，同时也加深了对三角形面积公式内涵的理解和把握，达到了对学生进行认知提升的目的，接着教师进一步联系生活中的实际问题：“做这样一条红领巾应准备多大的布?”，并通过追问“100×33÷2是什么意思?”，让学生应用模型解决实际问题，在这个过程中教师不仅检验学生对三角形面积公式获得的心理表征是机械的还是有意义的，而且让学生体验了成功运用知识解决实际问题后所形成的心理愉悦，最后，教师通过计算梯形面积把学生的视野拓展开去，从学生的回答中我们可以清晰地感知到，运用操作活动解决问题的经验乃至对待这样的数学问题所产生的思维方式都已在学生的脑中扎下根来，而这些知识与能力的获得对于未来的数学学习是有重要意义的。