为理解而教——“平行”课堂教学实录与反思

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　　为理解而教
　　――“平行”教学实录与反思
　　教学内容：
　　江苏教育版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第39页。
　　预设目标：
　　1、引导学生联系实际生活情景，体会直线的相交与不相交；
　　2、在情境中发现互相平行的两条直线的特点，能初步判断两条直线是否平行；
　　3、能在老师的指导下探索和掌握用直尺、三角板画平行线的步骤和方法；
　　4、经历观察、操作、想像的过程，形成平行线的表象，产生进一步学习和探索图形位置关系的兴趣，发展空间观念。
　　教学过程：
　　导 入孩子们，在我们的学习生活中经常遇到这样的情形(课件演示：两枝铅笔从铅笔盒里掉在地上)。
　　师：发生了什么事情？
　　生：铅笔掉了下来。
　　师：请大家观察掉在地上的两枝铅笔的位置，在今天的数学课上，老师相应地画成这样的两条直线（板书：两条直线）。可以吗？（课件出示相应位置的两条直线）。
　　生：（齐声）可以。
　　师：哪两枝铅笔掉在地上，还可能是什么样子吗？你也能像老师一样，把它们的位置关系画下来吗？动手之前，老师提几个要求：用水彩笔和直尺画在老师给大家的点子纸上；各种画法尽可能地不一样；给定的时间里，比比谁的画法多。
　　交 流
　　用实物展示台展示一个同学的画法如下（学生是在点子图中画这些直线的）：
　　（略）
　　1 2 3 4
　　师：我们以这个同学的画法为例，一起来分析一下。老师刚才提了要求，各种画法尽量地不一样。现在这几种画法中，真的就没有相同的画法吗？
　　有的同学马上举起了手，有的同学直接喊了起来：不是。
　　师：哪几种画法是相同的？为什么？
　　生：第一种和第四种的画法是一样的。因为它们都有重合在一起的地方。
　　师：行。老师懂你的意思，就是两条直线有一个点是重合在一起的。那也就是说，两条直线――
　　生：交叉在一起。
　　生：相交。
　　师：很好。刚才有同学说了一个很好的词：相交。（板书：相交）
　　老师在黑板上画了“角”形状的两条直线，引导学生辨析它们是否相交。
　　师：（手指第三种画法）那这两条直线相交吗？
　　生：不相交。（异口同声）
　　师：（板书：不相交）我们的眼睛还没有看到相交那是肯定的，但不知把表示铅笔的线段所在的这两条直线画得长一些，是什么结果？
　　有的同学情不自禁地用手沿着那两条直线比划着。
　　生：画长一些，会相交的。
　　师：从哪里看出来的？
　　生：那条直线斜过来了。
　　生：那条直线靠过来了。
　　师：哦，老师懂大家的意思。原来两条直线之间有这么宽（指着第三组直线的下半部分），现在这条直线向这条直线靠过来了，两条直线间靠得越来越近了，按照这个趋势，它们肯定会相交点。
　　师：哪个同学上台，用测量数据把大家刚才观察的结果表示出来。
　　一学生上台，尺比划着直线，要测量两条直线的长度，下面同学喊了起来。
　　师：哪个来帮他，大致测量以下这两条直线间的宽度有什么变化。
　　又上来一个学生，顺利测量了两条直线间的宽度。
　　师：看上去不相交的两条直线，画长一些实际上是相交的。照这样看来，这第二组的两条直线也是相交的。
　　生：不是。（多数学生说）
　　师：怎么不是啊？哪个同学用测量的数据来说服我。
　　学生上台测量两条直线间的宽度，并说明了：宽度没有变，两条直线一直隔着那么远，不会相交。
　　师：经过一番分析，看来画在点子纸上的两条直线或者相交，或者不相交。和你的同座说说，你刚才的各种画法中，那几组直线是相交的，那几组直线是不相交的。
　　同座间交流。
　　抽 象
　　师：孩子们，数学与生活就是这样密不可分。刚才，我们借助掉在地上的两枝铅笔，了解了画在一张白纸上的两条直线间关系，一种是相交，另一种是不相交。数学上，我们把这样不相交的两条直线叫做相互平行。（板书：互相平行）。其中一条直线叫做另一条直线的平行线。
　　师：我们周围的世界就是图形和线条的世界。你能从下面的图片中找出相互平行的直线吗？
　　用课件出示图片：游泳池的隔离带，秋千的吊绳，地转（两两平行四条直线）。利用“地转图”，引导学生先找平行线，再找相交线。
　　师：加大难度。你能在运动前后的图形中找到相互平行的直线吗？
　　课件出示：三角形的小旗。先让小旗绕着小旗尖旋转，让学生找旋转前后的小旗是否有相互平行的直线。
　　师：一个物体运动，除了旋转，还可以怎样？
　　生：平移。
　　顺着学生的回答，课件演示小旗“平移”。（课件演示：小旗晃动着移动。）
　　生：那不是平移，平移要一动不动地移。
　　师：哦，一动不动！也就是在移动过程中不能有晃动。那徒手让小旗“一动不动”地移动还真不容易。老师给要移动的小旗，像火车那么给它造一个轨道，那样移动就不会有晃动了。（课件演示：直尺靠上了小旗的旗杆，小旗沿着直尺移动）现在，你能从平移前后的图形中找到平行线吗？
　　学生边指边回答。
　　深 究
　　师：我们是通过掉下的铅笔，认识了画在同一张白纸上两条直线之间的关系。让我们还是回到这个话题上吧。如果掉下的铅笔一枝掉在地上，一枝掉在凳子上，那两枝铅笔所在的直线还相交吗？（课件演示这样的情景）
　　生：不会。
　　师：为什么？
　　生：一枝铅笔在上面，一枝铅笔在下面。画长些，上面的还是在上面，下面的还是下面。（一边说一边比划着）
　　师：嗯，真有想像力。有些同学可能还没明白，没关系。看到两枝铅笔现在的位置关系，老师不由得想到了立交桥（课件出示一幅立交桥的图片），有些汽车在地面上行驶，有些汽车在立交桥面上行驶，这正如同一枝铅笔掉在地上，一枝掉在凳子上。好，我们现在做个模拟实验，用一个手指演示下面路面汽车的行驶路线，另一个手指演示上面路面汽车的行驶路线，从不同的方向开来，结果会怎样？
　　学生用手指演示。
　　师：现在要到交叉路口了，两辆汽车行驶的路线为什么不相交？
　　生：一个在上面，一个在下面。
　　生：它们不在一起。
　　师：这样从数学的角度很自然地引出了一个话题，像这样的两条直线不相交（课件出示：上下交错的两个色块，每个色块中有一条直线，表示异面的直线），是因为――
　　生：一条直线在上面，一条直线在下面。
　　师：对，用数学上的说法，叫做“不在同一平面内”。
　　师：那相互平行的两条直线不相交，难道也是因为不在同一平面内吗？（课件出示前面几幅图片中的平行线，并用一个色块作背景）
　　生：不是。它们是在一起的。
　　师：看来，判断两条直线是不是平行线，还有一个很重要的前提条件，那就是首先要判断两条直线是不是在“同一平面内”（板书）。
　　根据教室里的情况，引导学生判断异面的直线是否平行，并说说为什么。
　　操 作
　　师：学到这里，大家对同一平面上两条直线之间的关系理

　 www.gaofen123.com 解的很透彻了。但学习数学不仅要会观察、善思考，如果还能动手做，那就更出色了。你们能画平行线吗？实际上，很多同学在课的一开始，就已经会画不相交的两条直线了，只不过那时还不知道那叫平行线。下面的操作，老师提高要求：一边画，一边总结画平行线你用了哪几步？
　　学生试画。绝大多数学生徒手移动直尺，有几个学生用两把尺比划着。
　　师：说说，你是怎样画一组平行线的？
　　生：先画一条直线，然后再画一条。
　　师：（随学生回答，板书：画 再画，手指板书）那你在这两步之间就没有做什么吗？
　　生：把尺这样。（学生边说边把尺移动）
　　师：哪个同学帮助他表达？
　　生：移动。
　　生：平移。
　　师：（随学生回答，板书：移）唉，老师刚才听到有同学这样说：要平移！那非要平移吗？为什么？
　　生：不平移的话，直线就会画斜的。
　　师：那怎么才能保证直尺是平移？
　　生：我会。
　　学生上台演示：先用直尺画了一条直线，然后用另一把直尺靠在这把尺的上面，并沿着直线延长的方向移动，最后沿着这把移动直尺的另一条边画了另一条直线。
　　师：第一个来尝试平移的，迈出了伟大的第一步。不过，对他的平移，你有什么想说的吗？
　　学生皱着眉，琢磨着。
　　生：他那个尺放在那里不动，靠着尺在上面画一条直线，再在下面画一条直线，也可以的。
　　师：对，这个同学讲到点子上了。看来搞清移动那把直尺还是很重要的。大家看，画得第一条直线是横平的，那和它平行的另一条直线或者在它上面，或者在它下面，也就是说要把画直线的尺上下平移。哪个同学给这把直尺找到了平移的轨道了？
　　学生上台正确地演示。
　　师：很好，要在画直线直尺移动的方向上造轨道。现在，大家能用这样的方法画平行线吗？
　　学生尝试，并交流还有什么为难之处，或者要注意的地方。
　　冲 浪师：课的最后一起来个“智力大冲浪”，敢不敢？
　　随学生回答，出示并完成练习：
　　想想、摆摆、填填（也可以摆摆、画画，想想，填填）。
　　第1根小棒和第2根小棒平行，第3根小棒和第2根小棒平行，那第1根和第3根小棒（ ）。
　　第1根小棒和第2根小棒平行，第3根小棒和第2根小棒相交，那第1根和第3根小棒（ ）。
　　先摆一组平行线，再在不同方向上又摆一组平行线，可能会摆成（ ）图形。摆成的这些图形有什么共同之处？不能摆出哪些四边形？
　　附板书： 相交
　　同一平面 两条直线 不相交（互相平行）
　　画 移 再画
　　教学反思恐怕没有人怀疑：只有理解，才能在数学学习中获得发展。
　　理解的心理过程并不像我们想象得那么简单。要学习的数学概念或原理，学习
　　者能在心理上组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，才会产生理解。这意味着，在学习数学概念或原理前，孩子们能在心理上组织起事理与数学本质相通的生活体验，或密切联系的相关旧知，并在相互作用中完成彼此间的沟通，形成融会贯通的整体。这些心理过程，显然不是孩子们自己所能全部独立完成的。教，也就有了充分的价值。
　　教学从“掉在地上的两枝铅笔”入手，不仅仅想阐释数学来源于生活的理念，更重要的初衷，是通过“掉在地上的两枝铅笔还可能是什么样”的问题，调动起学生所有的经验储备，进而体会到：两条直线的关系无非是相交和不相交（虽说也有“重合”，但在数学中，两条重合的直线，对于讨论两条间直线间的关系毫无意义）。在此基础上，学生对“两条直线间的关系”以及“平行”间的种属关系，也就有了把握。教学过程中，怎么处理“同一平面”斟酌了几番。首先可以肯定的是，理解“同一平面”是绕不开的坎，不能不讲，但形式化的讲解，似乎并不能促进孩子们对此的理解。讲得过于深刻，也没有必要，有违于课改“学有价值的数学”的基本理念。因为在整个小学阶段，除“平行”外，其他数学概念或原理的学习，都无须特别强调“同一平面”。教学中对此的处理，重在让学生利用具体的生活事理支撑起抽象数学术语的理解。从学生学习的视角看，数学术语、数学定义只是数学概念外在的表征形式，为人们交流和认识数学概念提供了工具和抓手，在孩子们的内心世界，他们是不大可能用这些词语、命题的方式来建构自己对于抽象概念的理解的，鲜活而又贴切的表象应该是其间最活跃的心理中介，所谓深入浅出的心理学意义也就在此，这样的做法显然更符合孩子们理解抽象概念的心理过程。
　　此段教学中，动了点“小手术”，引入了生活概念“两条直线之间的宽”。数学概念的学习，终究要走向判断和推理。两条直线间的宽度有一丝变化，就有靠得越来越近的趋势，两条直线就会相交。可见，引入了“宽度”的说法，学生的判断和推理就有了更好的依托。相比而言，仅仅依靠“平行”定义中“不相交”的属性，进行判断和推理就有些苍白。公理化是数学的本质特征之一，《几何原本》的最终原点也是无须证明的世人公认的事实。因而，虽然“宽度”的说法并不科学，但并不妨碍孩子们以此为基础，进行富有逻辑地推理，这样，对“平行”的理解无疑走向了更深入。
　　引入“两条直线间的宽度”，还有一个妙处是创造了数学操作技能的另一种境地。在很多时候，数学操作技能的教学似乎只有“讲解--示范--模仿--训练”，没有新的可能。这样的状况一方面缘于我们通常认为数学技能是纯粹的动作技能，而漠视了其中的智慧性。另一方面缘于知识的教学不能很好地为技能的展开提供有力的支撑。例如，依据平行定义中揭示的“不相交”的特征，学生就很难琢磨怎样画出“不相交的直线”。也正因为如此，我们引入了“两条直线间的宽度”，有了这个认识做基础，学生就能由此思考，用三角尺画平行线时，要保证两条直线间的宽度不变，三角尺就要平移，徒手平移就要有“轨道”。这样，画平行线的技能就转化为了怎样给移动的三角尺造“轨道”。为此，教学中专门作了铺垫，“在旋转、平移前后的图形中找平行线”，打通了“图形的平移”和“直线（线段）的平行”间关系。知识间的关系不断被发现，就注定了学习的过程是理解的触角不断扩展的过程。因而，画平行线技能的习得就不再是模仿和机械训练的过程，而变得富有理解的乐趣。
　　教学的焦点凝聚于“理解”，练习设计的立意就凸显了怎样沟通学生的所学。不同的方向摆平行线，意图就在于引导学生从“平行”的视角整合已学的四边形知识。
　　全课的立意，如果不得不归结成一句话，那就是：技能和知识本是“同根”，有了知识的支撑，技能完全可能是学生心智生长的结晶，技能的学习过程完全可以富有生命成长的气息。