在一次苏州市学科带头人课堂教学观摩活动中，特级老师李新执教的“面积和面积单位”中的一个片断给了我很大的启发，下面将这个片断简述如下：
师：请同学们取出1平方厘米的小正方形纸片，在自己的周围找一找，哪些物体的表面差不多是1平方厘米?
学生找得很多，有的说是和骰子的一个面的大小差不多，有的说是和一颗大门牙的一个面差不多大，有的说和自己手上的一个指甲盖差不多大……学生举了很多例子，教师并没有为此满足。
师：现在我们再仔细看一看1平方厘米有多大，然后闭上眼想一想，再睁开眼看一看，反复几次，比一比谁把1平方厘米记得最牢?
学生观察。
师：现在请你把留在脑海中的1平方厘米画在纸上，然后再用1平方厘米的小正方形纸片去比划，比一比谁画得最接近？
学生在纸上画了起来，画完后忙不迭地取出1平方厘米的正方形纸片去比较，有的欣喜地表示画得很接近；有的则有些懊恼，因为画的与实际相比出入比较大……
让学生以1平方厘米的小正方形为标准，在周围寻找和它差不多大小的物体表面，是我们在教学面积单位，帮助学生建立面积单位概念时常用的方法。但一般情况下，在学生汇报交流后，教师紧接着就进入下一环节的教学。李老师在这里增加了一个环节，他留出时间让学生再观察，然后把脑中刚刚建立的1平方厘米画出来，以此验证对于1平方厘米的空间观念建立得是否正确。这看似多余的一笔，笔者认为恰是李老师设计的巧妙之处，也是帮助学生建立1平方厘米概念的“神来之笔”。
在这里，李老师让学生充分感知面积大约为1平方厘米的一些物体表面，再让学生想一想、记一记，帮助他们在头脑中建立1平方厘米的表象；然后让学生画一画，促使他们将表象通过外在的操作具体再现，由此检验表象建立的准确性；最后再通过比较，使学生对1平方厘米的概念更加清晰起来。在这个过程中，经过找一找——记一记——画一画——比一比，1平方厘米在学生脑海中的印象由模糊到清晰、由枯燥到生动、由抽象到具体，点点思维的痕迹一一留在了头脑里。
无独有偶，在特级教师徐斌执教的“两位数乘一位数”课上，我又一次欣赏到“留下学生思维痕迹”的细节处理。
师请一位学生上黑板尝试练习14×2的竖式写法，这位学生写成：
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练习后，徐老师引导学生观察所写的竖式，很多学生都认为这样写比较麻烦，可以将中间过程的一些步骤省略。徐老师在同学们七嘴八舌的议论下，认认真真地在一旁写下了：
正确又简洁的竖式写法已经呈现，徐老师没有急于让学生进行巩固性的练习，而是请刚才板演的同学再一次上台，将原来写的竖式改一改，在学生改的同时，他则用移一移、擦一擦这形象化的语言讲解。
让学生移一移、擦一擦，不仅仅是为了更正，而是为了通过这一过程，将两位数乘一位数的竖式写法深深地留在学生的脑海里。而在移、擦之间，由繁到简的体验就更加深刻了。
由此，笔者联想到目前有的数学课堂，尽管很热闹，动手操作、小组合作，学生忙得不亦乐乎。然而在总结概括的时候，很多学生却难以全面合理表达．因为他们中的一部分在课堂上只是“凑热闹”而已，操作与讨论并没有真正在他们的思维深处留下点什么。因此，笔者认为，有效的课堂需要留下学生思维的痕迹。
留下学生思维的痕迹，需要教师引导学生有效地参与学习活动。有效参与需要思维的参与。笔者认为主要表现在学生要有独立思考的时间。无论是操作还是讨论，都要为每一位学生提供独立思考的时间，如在操作前，需要思考如何操作；操作后应该思考通过操作得到了什么结论；如果操作失败，还需要反思导致操作失败的原因。有效的参与还表现在教师要善于激活学生的思维，促使学生积极探求，深入钻研。有效的参与还表现为学生提供展示思维过程的机会，给予学生勇气，让他们或用语言描述或用操作表达自己思维的过程。
笔者认为，教学的成功就是在学生的思维深处留下知识发生、发展的痕迹。这将是我们不断探索和努力的课题。
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