在问题解决中培养思维的良好品质
数学是思维的体操，而问题解决又是学生从事数学学习的一个重要内容，它是培养学生思维能力的一条重要途径。面对一个具有一定问题空间的实际生活中的数学问题，学生的思维活动会经历一个特定的、程式化的过程。在此过程中，学生从弄清问题、明确目标到寻找方法、拟定解题计划，到实施计划解决问题，尽管我们外人似乎无法看得见、摸得着学生的内在思维过程，但整个思维过程切实地存在于学生的头脑中。
当我们静心揣摩学生数学思维的具体过程，我们还是能够把握学生思维的脉搏，并从中发现并想办法解决学生思维过程中存在的种种问题，不断培养学生思维活动的良好品质。下面是我在教学中实践著名数学教育家波利亚“怎样解题表”时的具体情景：
实例描述：
在一堂关于体积问题的练习课上，我给学生们出了下面一道习题：
在一个长24厘米，宽9厘米，高8厘米的长方形水槽中注入6厘米深的水，然后放人一个棱长6厘米的正方体铁块，水面上升了多少厘米?
因为这是学完长方体、正方体体积计算后的第一堂练习课，所以对班中绝大部分学生来说，还是第一次见到此类体积问题。尽管如此，我并没有给予学生相应的提示，而是让学生进行自主探索、尝试解答。片刻工夫之后，学生相继解决了这个问题，当然还是有一部分学生存在困难，仍在冥思苦想而不得其解。从学生的交流讨论中可以看出学生的思维活动主要是围绕弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾反思这个基本过程展开的，具体来说是做出了以下一些思考：
1．“读了题目之后，明确了题中的条件、已知数，弄清了要求的问题。”
——从表面上看，学生已经知道了条件和问题，其实还只是文字层面的。
2．“进行了事理、过程的想象，根据平常生活中的经验，当铁块放入水中时，水面就上升了。”
3．“水在有形的容器中也是有形的，上升的高度其实就是什么呢?就是上升的‘长方体水形’的高度。”
——此时，学生已经弄清楚了问题的实质。
4．“要求长方体的高，这是一个与体积有关的问题。长方体的体积÷底面积=高，这是一个重要的公式。然而，上升的水的体积是多少呢?”
5．“上升的水的体积也就是放入铁块的体积，这样就找到了一个至关重要的关系。”
6．“正方体铁块的体积可由棱长×棱长×棱长求得，这也就是上升的水的体积。”
7．“上升的水的体积(即铁块的体积)÷水槽底面积=水上升的高度”
——此时学生已经在头脑中买现了体积的转化，找到了解决问题的好办法，拟定了解题计划，并付诸实施。
面对一个新问题，学生依照解决问题的基本思路，进行分析思考，调用相关生活经验和已有知识基础，成功地找到了解决新问题的金钥匙。我真为他们感到高兴!
在后来的期末复习课中，我再次拿出了这道习题，并在其中做了一个小手脚，形成了“一数之差”：
在一个长24厘米，宽9厘米，高8厘米的长方形水槽中注入4厘米深的水，然后放入一个棱长6厘米的正方体铁块，水面上升了多少厘米?
初次答题过程：
学生一看到这题，似曾相识，毫不犹豫地解答起来，由于已经有了上次成功的解答经历，这次解题可以说是毫不费劲，一会儿工夫都做完了。在交流汇报中，学生的解答过程都如下：
6×6×6÷(24×9)=1厘米
解答思路仍是“上升的水的体积(即铁块的体积)÷水槽底面积=水上升的高度”。
然而“水面上升1厘米”这个答案恰恰是错误的。
学生们的答题情况是在我意料之中的，已有的认知经验导致了认知上的误区与障碍。
再次探索过程：
怎样让学生认识到这个答案是错误的?是老师直接指出，还是由学生通过反思回顾自己主动意识到呢?
我采取了后者。因为在一次完整的解题过程中，自我回顾反思也是必不可少的，而这一个环节往往是学生们所忽略的，借此机会正好可以让学生体会到回顾反思的重要性。
让学生们反思什么呢?为了引领学生的思路，我提出这样一个问题：上升后水面有多高，你们发现了什么?
学生们讨论开了：
“上升后水面高度为5厘米(4+1)。”
“铁块的高度是6厘米，铁块并没有被水浸没。”
“上升的水的体积并不是铁块的全部体积，再用铁块的体积去除容器的底面积就不对了。”
那又该如何解决这个新问题呢?首先还是要重新认识问题，要从生活与数学的角度还原出问题的原型，建立起数学模型。老师提问引导：既然没有浸没铁块，那么想象一下，这是怎样的一种形态?以下是学生的讨论交流情况：
“能不能把它看作是一种特别的容器，它的底面形状变成怎样的了?”
“容器的底面积变小了(如图)，变成24×9—6x 6=180平方厘米了。”
“在这个特别的容器中水的高度是多少呢?”
“水的总体积没有变化，只是底面积变了，根据体积÷底面积就可算出现在水的高度了。”
“上升的高度可以用后来水的高度减去原来水的高度求得。”
至此，新问题的解决方案已经基本拟定了，接下来就是学生去实施计划、解决问题了。
解决问题后，我再次引导学生回顾整理解题过程：
这个问题与原来的问题有什么本质区别?以下是学生的反思：
“最根本的区别是水有没有浸没铁块。”
“浸没的情况可以用上升水的体积÷原来容器的底面积求得答案。”
“没浸没的情况下可以把容器想象成一个特殊容器，求出后来水面的高度，再减去原来高度就是上升的高度。”
思考与收获：
从上述两个表面上相似的问题的解决过程中看，我们数学教师的确是能够把握学生的思维脉搏的，而且当我们不断引领学生弄清问题、分析问题时，还能够有意识地培养学生的思维品质，促进学生思维的发展。
1．注重自我反思的作用，追求完整的解题过程——培养思维的批判性。
正如波利亚所预见的那样，问题解决过程中的“回顾”这一环节往往是容易被大家所忽视的。无论是学生学的过程，还是教师教的过程，忽视反思回顾的现象司空见惯，大家把这一点看作是可有可无的。而这，从学习心理学的角度来说，是思维批判性的缺失。思维的批判性是不仅善于评价和批判他人、他事，而且更善于评价和批判自己的一种智慧品质。具有思维批判性的人，不仅能够严格地考察、分析和检查别人的行为和思想，实事求是地作出评价，判断出是非和正误，更能严格地分析和检查自己的思想和行为是否符合实际，发现错误，及时纠正。
在此，笔者要突出后者的重要性。如上例中所见，当学生面对貌似同类的两题时，对后者的解答过程显然过于草率，缺乏必要的批判，以至于对问题的本质特征没有很好把握。但是，我们也必须承认，这两题的确是太像了!当我们的学生(甚至是老师)思维的批判性不足时，出现问题也就在所难免了。因此，教师必须在平时的教学中要突出解题过程的完整性，高度重视解决问题后的自我反思与回顾验证。上述案例中，当老师引导学生加以反思验证时，学生不难发现其中存在的矛盾现象，从而改变思维策略，调整思路，直至正确解答。如果教师能够坚持引导学生对自己的解题过程进行反思回顾，学生也就会逐渐养成追求完整解题过程的习惯，其思维的批判性也就会得到有效的培养。
2．避免负迁移的影响，甄别新老问题的异同之处’——培养思维的深刻性。
思维的深刻性经常地被称之为分清实质的能力，这种能力表现为能洞察所研究事实的实质及这些事实之间的相互关系。思维深刻性的反面是思维的肤浅性，经常表现为只满足一知半解、不求甚解；考虑问题时，不去领会问题的实质。这反映在数学学习中，往往表现为依葫芦画瓢，不去领会解题方法的实质。因此，培养思维的深刻性，就需要教师在教学中提醒学生不迷恋于事物的表面现象，引导他们自觉地思考事物的本质。
正是由于学生思维的肤浅，就必然会产生一些负迁移现象，克服负迁移的好方法就是要加强新老问题的甄别。如上例中，新旧问题的不同之处就在于原先容器内的水面高度是不一样的，并且这个细微的差别很容易被学生忽视，但是这恰恰是“牵一发而动全身”的关键点。教师要在平时的教学中，注意培养学生观察分析问题的良好习惯，多注意鉴别，不轻易下定论，做到“三思方动笔”，长此以往，学生必然会形成良好的思维品质。
3．发挥转化思想的作用，实现问题模型的二次建构——培养思维的灵活性。
爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化，及时地改变先前思维过程，寻找新的解决问题的途径。思维的灵活性能够引导学生及时摆脱心理定势，随着新条件而迅速确定解题方向，或者随着条件变化而有的放矢地转化解题思路。
在上例中，当学生意识到原来拟定的解题计划存在问题后，就重新对问题的条件和最终目标进行了分析与审视。在拟定新计划的过程中，转化思想发挥了决定性的作用，当学生想象着“原来的容器形状变了样，底面积变小了”时，一条新的解题思路也就逐渐形成了，他们终于实现了对问题模型的二次建构，找到了一个好念头。
其实，学生思维的各种良好品质是相辅相成、相互促进的，良好的思维品质必定会促进思维能力的大幅提高。我们广大数学教师肩负着培养学生思维能力的重任，这就需要我们在平时的教学过程中悉心钻研、精心设计、巧妙引导，促进学生数学素养和思维水平的全面提升。