运用等价变形题指导学生解题

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　　有些数学应用题，因为数量关系较为复杂，学生会感到无从下手，这时，教师可运用非等价变形题引导学生进行分析并解答。
　　例1．一个面积为20平方厘米的正方形内有一个最大的圆，求这个圆的面积是多少?
　　分析与解答：题目中正方形的面积是个非完全平方数，如果要让学生求出圆的半径，然后再求出这个圆的面积学生是无从下手的。
　　因此，可先出示这样一道比较题：“已知一个面积为1平方厘米的正方形内有一个面积最大的圆，求这个圆的面积。”
　　因为正方形的面积是1平方厘米，学生能很快理解这个正方形的边长即为1厘米，因此面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为：3.14×(1÷2)²=0．785(平方厘米)。
　　在学生求解出面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积后，教师可再将此题同例1进行比较，这样学生就能很快求出面积为20平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为： 0.785×20=15.7(平方厘米)。
　　例2.某校上学期共有学生1040人，本学期有学生1360人，其中男生比上学期增加48％，女生比上学期增加20％，求这所学校本学期有男女生各多少人?
　　分析与解答：题中的两个百分率无直接关系，给解题带来了一定的难度。
　　因此，可先出示这样一道比较题：“某校上学期共有学生1040人，本学期男女生都比上学期增加了20％，求本学期这所学校共有多少人?”
　　学生很快求出答案，本学期学校有学生：1040×(1+20％)=1248(人)。
　　然后再将此题同例2进行比较，学生便发现“男女生都比上学期增加了20％”与例2的“男生比上学期增加48％，女生比上学期增加20％”相关的人数则为：1360-1248=112(人)。因此，可求得上学期的男生人数应为：112÷(48％-20％) =400(人)，所以，本学期的男生人数为：400× (1+48％)=592(人)，本学期的女生人数为：1360- 592=768(人)。
　　例3.某校学生步行去进行郊游活动，在离开学校3千米处，张老师发现有物品遗留在学校，马上骑自行车以每小时9千米的速度返回学校，拿了物品后又追赶学生队伍，已知学生队伍每小时行4千米，求张老师离开队伍几小时又追赶上学生队伍?
　　分析与解答：题目不明确张老师从何处追及，以及追及的距离有多长，学生感到无法下手。
　　因此，可设计以下一道比较题：“某校学生去进行郊游活动，每小时行4千米，队伍离开学校6千米后，张老师才骑自行车以每小时9千米的速度去追赶队伍，问张老师几小时能追赶上队伍?”
　　学生很快求出答案：张老师追赶上队伍的时间为：6÷(9-4)=1.2(小时)。
　　然后再将此题与例3进行比较，学生很快看出，张老师在队伍离开学校3千米处返回学校去拿取物品，然后再追及队伍，追及的距离即为当时队伍与学校距离的2倍。因此，学生很快求出例3的答案，张老师追赶上队伍的时间为：3× 2÷(9-4)=1.2(小时)。
　　例4．某工厂计划在规定的时间内加工一批零件，若每小时加工30个，则比规定时间晚完成 1小时，若每小时加工48个，则比规定时间少用半小时，如果要在规定的时间内完成，每小时要加工几个零件?
　　分析与解答：学生对题目中“比规定时间晚完成1小时”与“比规定时间少用半小时”这两个条件不理解，因此会感到难以求解。
　　因此，可出示下列一道比较题：“甲、乙两人同时骑摩托车从A地到B地，甲每小时行48千米，乙每小时行30千米，经过若干个小时，乙离 B地还有36千米，甲超过B地24千米，这时两人如果立即掉头往回走，如果两人的速度不变，问甲追上乙要几小时?”
　　这是一道追及应用题，学生能很快列式解答，甲追上乙要用的时间为：(24+30)÷(48-30)= 3(小时)。
　　然后再将此题同例4进行比较，学生即能发现，比较题的追及时间即为例4中加工这批零件的规定时间，因此学生很快求出加工这批零件的规定时间为：(30+48÷2)÷(48-30)=3(小时)。所以，在规定的时间内完成这批零件，每小时要加工的零件个数为：30×(3+1)÷3=40(个)。
　　例5．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给小班，每人5个则余10个，如果分给大班，每人8个，则有一人分到6个，已知小班比大班多3人。问这筐苹果有几个?
　　分析与解答：这题比一般的盈余问题多了“小班比大班多了3人”，因此有的学生会望而却步，不知所措。
　　因此，可出示这样一道比较题：“幼儿园将一筐苹果分给大班的小朋友，

　 www.gaofen123.com 如果每人5个，则余25个，如果每人8个，则少2个，问这筐苹果共有几个?”
　　学生能很快列式求解，大班人数为：(25+2)÷ (8-5)=9(人)。这筐苹果的个数为：9×8-2=70 (个)，或5×9+25=70(个)。
　　然后再将此题同例5进行比较，学生也能很快知道，小班比大班多3人，即大班每人分5个则要多余：5×3+10=25(个)；分给大班每人8个，有一人只分到6个，则少：8-6=2(个)。因此，学生能够迅速求出这筐苹果的个数为：8×［(25+2)÷(8—5)］-2=70(个)。
　　例6．一项工程，甲、乙两人合作30天完成，如果甲单独做24天后，乙再加入合作，两人合作12天后，甲因有事离开，由乙再单独做了15天才完成这项工程。问这项工程如果由甲单独做要用几天才能完成?
　　分析与解答：这道题因为甲、乙两人做的时间前后不同，学生会感到束手无策。
　　因此，可出示这样一道比较题：“一项工程，甲、乙合作30天完成，如果甲、乙两人合作 27天后，甲再用了9天才完成，求甲单独完成这项工程要用几天才能完成？”
　　学生很快求出甲单独完成这项工程要用的时间为：9÷(1-1/30×27)=90(天)。
　　然后再引导学生将此题同例6进行比较，学生即能发现，两道题的解题思路是完全相同的。因此，学生也能很快求出甲单独完成这项工程要用的时间为：(24-15)÷［1-1/30×(15+12)］ =90(天)。