《孙子算经》里的孙子问题

　　在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?”(答曰：二十三)这就是闻名于世的“孙子问题”。《孙子算经》中给出了它的一般解法：“术日：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七424gc~_剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”明朝数学家程大位在所著《算法统宗》中把这一解法概括为四句歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”具体到本题的结果，由70×2+21×3+15×2—2×105=23得所求物为23个，一般地说，所求物个数是23+105n(n=0，1，2，3……)。它的解答要用到不定方程的知识或同余的知识。
　　《孙子算经》对于“孙子问题”的解答暗示了一般途径，由它作出的理论概括，被西方誉为“中国剩余定理”。孙子问题的算法还有其他一些名称，如“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”和“韩信点兵”等。其中“韩信点兵”也指这样的问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。下面给出它的一个算术解法：(1)在6、7、11的公倍数中找一个被5除余1的数，如3×462；(2)在5、7、11的公倍数中找一个被6除余5的数，如5×385；(3)在5、6、11公倍数中找一个被7除余4的数，如4~330；(4)在5、6、7的公倍数中找一个被ll除余1O的数，如10×210；(5)3×462+5×385+4×330+lO×210=6731，则6731是满足条件的一个数，它比5、6、7、11的最小公倍数2310大，若求满足条件的最小正数，则应从6731中减去2310的两倍，得211l，由此所求兵数的一般结果是2111+2310 n(n=0，1，2，……)。这种算术解法也适用于“孙子问题”。