“柳卡问题”趣题新解

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　　在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问题大家进行过广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡问题”。
　　其实，“柳卡问题”的解决并不困难，运用小学的数学知识就可以解决它，而且解法还十分新奇有趣。下面，就对这些趣解作一介绍。
　　一、游戏法
　　你可以组织班级中的同学和你一起来做个“解题”游戏。你扮成从哈佛开出的那艘轮船，其他同学扮成从纽约开往哈佛的轮船，让他们站在学校操场的一边，而你站在他们的对面。中间用六张小凳均匀分成七等份(相邻两张小凳间的距离约两步长)，用来表示一个昼夜的航程(白天一步，夜晚一步)。在你的口令声中，他们一个接一个地用相同的步幅，较均匀地向你这边走过来。前一个同学刚走到小凳处，后一位同学就开始出发，就犹如每天中午从纽约开出的轮船。当第一位同学走到你这边，你就立刻均匀地向对面走去，并记下迎面碰到的同学数。当你走到对面的时候，结果就出来了，一共遇到了15位同学。这就是说，将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。不仅如此，如果你注意记录下与每一位同学相遇的地点的话，你会发现每到小凳处就会遇到一位同学，每到两张相邻小凳之间处也会遇到一位同学，加上出发时遇到的那位同学，一算便知在途中遇到15位同学。同学们，你们说这样的“解题”游戏是不是很有趣?
　　二、图表法
　　通过对“解题”游戏中相遇地点的记录，我们发现了一昼夜会遇到两艘从迎面开来的轮船。如果我们假设每半天的航程为“1”的话，那么从哈佛到纽约的全程就为1×2×7=14，这样可以列出每隔半天相遇两船的航程，如下表：
　　从表格中，可以一目了然地知道从哈佛出发的轮船，沿途将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。
　　三、算术法
　　你在做“解题”游戏的过程中，可能已经看到“柳卡问题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x海里／昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么)，即为x海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0．5(昼夜)，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘)从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。同学们，你们说这样的算术解法是不是既简单又有趣呢?
　　四、图像法
　　如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市，O点代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(假设是十五号)，O点的右侧数代表出发后的日期，O点的左侧数代表出发前的日期。过点。作一条垂轴OS垂直于这两条平行线，设OS与代表纽约的平行线交于A，A点就代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(也是十五号)。我们将每艘轮船的出发日期与它到达日期之间用线段相连，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程图线。最后我们将这艘从哈佛出发的轮船的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合。看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“柳卡问题”的解应为15艘轮船。
　　五、转化法
　　我们先来考虑一个非柳卡问题：“如果该轮船公司要维持“柳卡问题”中提到的哈佛与纽约之间的正常航行。至少需要配备多少艘轮船?”要解决这一问题，可设一艘轮船第一天中午从哈佛出发，经过七天，第八天中午到达纽约，第九天中午从纽约出发，再过七天，第十六天又回到了哈佛，开始准备下一个来回的航行。这十六天中，每天中午需从哈佛发出一艘轮船，所以要想维持正常航行至少需要16艘轮船。
　　现在我们再来看“柳卡问题”。如果该轮船公司的16艘轮船都在航线上，其中一艘从哈佛出发时，它后面一艘正好回到哈佛，它们之间没有其他的轮船；这艘轮船到达纽约时，它前面一艘船正好从纽约出发，它们之间也没有其他的轮船。这样，在从哈佛到纽约的航程中，该轮船与本公司的其他15艘轮船都要相遇一次。因此，从哈佛出发的轮船沿途将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。
　　以上五种解决“柳

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