分类讨论在解决数学问题中的应用

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　　依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点。将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究与求解的方法，叫做分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的重要方法。解答分类讨论问题时，其基本方法和步骤是：先确定讨论的对象及范围，再确定分类标准(即标准统一，不重复、不遗漏)，然后对所分类逐步进行讨论。获取阶段性结果，最后进行归纳小结，综合得出结论。下面，通过实例予以说明。
　　
　　一、疑难问题
　　
　　例1 学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个班(可以不参加)。问至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同?
　　分析与解：本题是一道以抽屉原理为背景的题目，但要构造“抽屉”与“物品”，则必须通过分类讨论。显然，所有的学生可以分为三大类：(1)不参加课外学习班的学生，只有一种情况(c⁰₄或用枚举法)；(2)参加一门课外学习班的学生，共有四种情况(c¹₄或用枚举法)；(3)参加两门课外学习班的学生，共有六种情况(c²₄或用枚举法)。
　　于是，问题转化为至少将多少个物品放人11(1+4+6=11)个抽屉里，才能保证某个抽屉中有两个或两个以上物品。由抽屉原理易知至少需12个物品，即本题答案为12个学生。
　　在本题中，分类讨论的运用是将疑难问题转化为简单问题的关键。
　　
　　二、繁杂问题
　　
　　例2　数一数下图中有几个正方形?
　　
　　分析与解：本题虽然几乎不需要任何知识，但学生解题时极易多数或漏数。其原因就在于他们没有进行分类讨论。图中正方形可分为四类：(1)单个的小正方形(1×1)16个；(2)四个小正方形拼成的正方形(2×2)9个；(3)九个小正方形拼成的正方形(3×3)4个；(4)十六个小正方形拼成的正方形(4×4)1个。因此，图中共有1+4+9+16=30(个)正方形。
　　从上述分析中不难发现，将一个繁琐的问题通过分类讨论，分成几个小问题。再各个击破，问题就容易解决了。
　　
　　三、参数问题
　　
　　例3　两根同样长的绳子，第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10，哪根剩下的长?
　　分析与解：第一根绳子剪去3／10米，其值是固定不变的；第二根绳子剪去3／10，则跟绳子原长有关，即绳子原来越长，剪去的就越多。所以，必须分类讨论。
　　设绳子长为a米，不难得出a=l时，两绳减去一样多，是临界值。则：(1)01时，3a／10>3／10，第一根绳剪得少，剩下的较长。
　　这道题中，参变量(绳长)的取值会导致不同结果。由于绳长未知，只有对参变量的不同取值范围进行分类讨论，才能将问题说清楚。
　　对于这种含有参数的问题。或其他一些涉及数学概念与性质的问题，只有分类讨论才能充分考虑到各种可能，保证解题的完整。
　　诚然，在上述问题中，分类讨论发挥着重要且特殊的作用，决定着解题的思路和途径，若能灵活掌握运用这种思想方法，就可轻松而严谨地解题。