二次根式概念、知识点及练习题

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　　【性质与概念】

　　定义：

　　如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果x^2=a，则x叫做a的平方根，记作x=±√a，其中a叫被开方数。

　　关于二次根式概念，应注意：

　　1. 从形式上看，二次根式必须有根号，如√5 ，√a+1 ，√x+y 等。

　　2. 被开方数可以是数 ，也可以是代数式，但两者必须是非负的。否则，此根式无意义。

　　性质：

　　1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是x，则a的另一个平方根为﹣x。

　　2.零的平方根是零，即√0=0;

　　3.负数没有平方根。

　　4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。

　　5.无理数可用有理数形式表示

　　6.√a≥0(双重非负性);

　　(1)(√a)^2=a(a≥0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解);

　　(2) (√a)^2≥0, √a都是非负数;当a≥0时，(√a)^2=√(a^2);而(√a)^2中a取值范围是a≥0，√(a^2)中取值范围是全体实数;

　　(3)c=√(a^2+b^2) 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;

　　(4) 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，例：2√2=√(2^2*2)= √8;

　　(5)a√b=√(a^2*b)(a>0),a√b=-√(a^2*b)(a<0); √(a^2*b)=a√b(a≥0); √(a^2*b)=a√b(a<0);

　　(6) √a^2=|a|，即具有双重非负性。

　　算术平方根：

　　正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√a(a≥0)来表示。

　　开平方运算：

　　求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。

　　化简：

　　化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。

　　最简二次根式定义(?被开方数不含分母?被开方数中不含能开得尽的因数或因式)

　　二次根式化简一般步骤：

　　①把带分数或小数化成假分数

　　②把开方数分解成质因数或分解因式

　　③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外

　　④化去根号内的分母，或化去分母中的根号

　　⑤约分

　　分母有理化：

　　在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。

　　分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：

　　(1)直接利用二次根式的运算法则：

　　例：√a/√b=(√a*√b)/(√b*√b)=√ab/b(a≥0,b>0)

　　(2)利用平方差公式：

　　例：1/(√a+√b)=(√a-√b)/(√a-√b)(√a+√b)=(√a-√b)/(√a)^2-(√b)^2=(√a-√b)/(a-b)(a≥0,b≥0,a≠b)

　　(3)利用因式分解：

　　例：(1+2√a-√b-√ab)/(1+√a-√b)=(1+√a-√b)(1+√a)/(1+√a-√b)=1+√a(此题可运用待定系数法便于分子的分解)

　　(4)利用约分：(x-y)/(√x+√y)=(√x+√y)(√x-√y)/(√x+√y)=√x-√y(x>0,y>0)

　　分子有理化：

　　把分子中的根号化去，叫做分子有理化。

　　√a+√b=(√a+√b)(√a-√b)/(√a-√b)=a-b/(√a-√b)(a≥0,b≥0,a≠b)

　　换元法

　　换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。

　　例：在根式√[x+11-6√(x+2)]+√[x+27-10√(x+2)]中，令u=√(x+2)，即可得到

　　原式=√(u^2+9-6u)+√(u^2+25-10u)=√(u-3)^2+√(u-5)^2=2u-8=2√(x+2)-8

　　分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。

　　【练习题】

　　选择题：

　　1. 若√(3-m)为二次根式，则m的取值为 ( )

　　A.m≤3 B.m<3 C.m≥3 D.m>3

　　2. 对于二次根式√(x^2+9) ，以下说法不正确的是 ( )

　　A.它是一个正数 B.是一个无理数

　　C.是最简二次根式 D.它的最小值是3

　　填空题：

　　3. 当x___________时，√(1-3x)是二次根式.

　　4. 比较大小：-3√2______-2√3.

　　【参考答案】

　　选择题：

　　1.A

　　2.B

　　填空题：

　　3. ≤1/3

　　4. <

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