初三数学几何专项难题

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　　如图（1），有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm,BC=6cm,角C=90度，EG=4cm,角EGF=90度，O是三角形EFG斜边上的中点。

　　如图（2），若整个三角形从图一的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在三角形EFG平移的同时，点P从三角形EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，三角形EFG也随之停止平移。设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm^2）（不考虑点P和G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OP平行于AC?

　　（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与三角形ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由。

　　（参考数据：114^2=12996,115^2=13225,116^2=13456或4.4^2=19.36,4.5^2=20.25,4.6^2=21.16）

　　[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ,

　　∴FG==3cm.

　　∵当P为FG的中点时，OP‖EG ,EG‖AC ,

　　∴OP‖AC.

　　∴ x ==×3=1.5（s）。

　　∴当x为1.5s时，OP‖AC .

　　（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF =5cm.

　　∵EG‖AH ,

　　∴△EFG∽△AFH .

　　∴ AH=（ x +5），FH=（x+5）。

　　过点O作OD⊥FP ,垂足为 D .

　　∵点O为EF中点，

　　∴OD=EG=2cm.

　　∵FP=3-x ,

　　∴S四边形OAHP =S△AFH -S△OFP

　　=·AH·FH-·OD·FP

　　=·（x+5）·（x+5）-×2×（3-x ）

　　=x2+x+3

　　（0（3）假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24.

　　则S四边形OAHP=×S△ABC

　　∴x2+x+3=××6×8

　　∴6x2+85x-250=0

　　解得 x1=, x2= -（舍去）。

　　∵0∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24.

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