概念建构：做得、悟得

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　　数学概念是对客观事物中数与形的本质属性的反映。它不仅是构建数学理论大厦的基石，而且是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学既是“双基”教学的核心，又是数学教学的重要组成部分。
　　“数学是对结构的构建而建立起来的。”(皮亚杰语)那么，如何有效地进行数学概念的建构呢?《数学课程标准》指出：“教学中，要创设与学生生活环境、知识背景密切相关且是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识产生、形成和发展的过程，获取积极的情感体验。掌握必要的基础知识与基本技能。”具有高度严密性与抽象性的数学概念的建构，应该使学生的概念学习过程成为一个主动建构意义的过程，让学生在“做”中“学”、“做”中“悟”，讲求“做得、悟得”。
　　
　　一、寻求概念的本源，激发内在需求，发现中做得概念
　　
　　每一个概念的产生都有丰富的生活知识背景，舍弃这些背景，直接呈现抽象的概念，不仅使学生感到茫然，而且失去了培养学生概括能力的机会。因此，概念教学中，教师应创设寻求概念生活本源的有趣情境，激发学生探究新知的内在需求，引导学生像数学家那样去“做数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，在建构概念的同时，培养他们的创造精神。
　　
　　片断一：教学“比例尺”
　　师：日常生活中，我们常常要把一些物体的形状画到纸上。请同学们将橡皮的底面。按原来的样子画到你的本子上。(学生操作，然后指名说一说画出的是什么图形，长与宽各是多少)
　　师：请将文具盒的底面，也照原来的样子画到本子上。有什么不一样?(学生感觉长方形比较大，本子快画不下1
　　师：教室的地面也是长方形，长10米、宽6米，请你把它也照原来的样子画到你的本子上。
　　生：太大了。本子画不下。
　　师：那怎么办呢?
　　生1：找一张很大的纸把它画下来。
　　师：你的想法不错。可找这么大的纸不容易。
　　生2：我有个办法，把它变小画出来。
　　师：你的想法很有创造性!可怎么变小呢?不能失去原来的样子!
　　生3：长与宽都减去一样的长度。
　　生4：长与宽都缩小一样的倍数。
　　师：我们一起来试一试，好吗?将文具盒底面的长与宽都减去3厘米，画一画；再将文具盒底面的长与宽都缩小2倍，画一画。
　　师：与原来的长方形比一比，哪个更像原来的样子?数学中，我们常常要将物体形状的实际大小按照一定的倍数画出来。
　　师：老师将教室地面的样子画了出来。想不想看?
　　出示：
　　
　　师：你知道老师是怎样画的吗?图上的长和宽与实际的长和宽是什么关系?同桌之间交流一下。
　　生5：图上的长是实际长的1/100，图上的宽是实际宽的1/100。
　　生6：实际的长是图上长的100倍，实际的宽是图上宽的100倍。
　　生7：图上的长与实际长的比是1:100，图上的宽与实际宽的比是1:100。
　　师：图上的长与图上的宽都称为图上距离。实际的长与实际的宽都称为……
　　生：实际距离。
　　师：我们把这幅图与教室地面的关系用一句话来表示，即图上距离与实际距离的比是1:100(1/100)，数学上把它叫做比例尺。
　　师：什么是比例尺?刚才这幅平面图的比例尺是多少?表示什么意义?
　　师(出示几幅不同的地图)：生活中，你在哪儿见过比例尺?(引导学生说一说图中比例尺的意义)
　　比例尺从数学的角度上来说，其实质是一个比；从生活的本源来讲，它是人们绘图时产生的一种需要，即把实际物体按一定的比率缩小或放大，物体各个部分的大小与实际是符合一定的比例的。教学中，我抓住这一最近发展点，创设了把物体的底面画在纸上的活动情境，在真实的体验中，引导学生思考交流。使比例尺的意义巧妙生成。学生在动手探究的活动中。“动态”经历了比例尺“静态”概念的形成过程，形象地“做”得了比例尺这一概念，享受到探究成功的快乐。
　　
　　二、丰富概念的表象。引发内省观照，交流中悟得概念
　　
　　建构主义认为，学生知识的获得是基于一种经验和旧知的建构，在建构中充分展开操作活动数学化、数学材料逻辑化与教学知识实践化的过程。皮亚杰认为，在操作活动数学化的过程中，

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　　数学概念是理性的浓缩，它源于经验，应倡导“结合学习者的经验进行教学”(杜威语)。数学概念的学习应给学生提供丰富的实际原型，让学生获取丰富的感性经验，并通过操作、观察、比较、反思等活动“悟”出概念，从而达到透彻的理解与掌握。
　　
　　片断二：教学“平行与垂直”
　　(教师拿着两枝铅笔，让铅笔从手中自然落下)
　　师：这两枝铅笔掉到地上后，它可能会形成哪些图形?请同学们先独立思考，然后用小棒代替铅笔摆一摆，看你们小组有几种摆法，最后小组长把摆法贴到展示板上。(小组活动)
　　师：很多小组既有分工，又有合作。下面，让我们一起来分享大家的研究成果吧!
　　学生展示：
　　
　　师：每个同学先认真观察、独立思考，然后再小组讨论交流自己的观点。
　　师：请一个小组的代表来说说他们的观点，其他小组注意倾听。
　　生1：第(1)、第(2)为一组，第(3)、第(4)为一组。
　　生2：第(1)、第(2)为一组，因为它们差不多平行；第(3)、第(4)都是交叉的。
　　师：刚才这位同学说第(3)、第(4)都是交叉的，有哪个同学能告诉我，这个“交叉”用数学语言怎么说?
　　生3：相交。(教师板书：相交)
　　师：它们有个相交点，叫什么?(交点)第(4)个图形有交点吗?(有)其他组还有不同的意见吗?
　　生4：第(1)、第(2)为一组，第(3)、第(4)为是一组。因为第(1)个图形是平行，第(2)个图形什么也不是，第(3)、第(4)个图形都相交。
　　师：很好，你已经知道平行了。
　　生5：第(2)、第(3)为一组，因为都有一条线斜着；第(1)、第(4)为一组，因为都是直的。
　　师：有道理吗?在我们日常生活中，很多物体都用线段来表示，像刚才我们研究的一枝铅笔、一根小棒都是——
　　生：线段。
　　师(出示用蓝色表示的一条线段)：如果把这条线段向两端无限延长，就是一条——(直线)
　　师(动画：延长成直线，用红色来表示)：线段是直线的一部分，这条蓝色线段是红色直线的一部分。
　　师：如果把这些线都无限延长，想像成直线，现在你们认为应该怎样分?还要修改刚才的结果吗?先讨论。再交流。
　　生6：我认为第(2)、第(3)、第(4)为一组，因为无限延 长的话，它们都有一个交点，而第(1)个图形延长没有交点。
　　师：第(2)个图形延长后会怎样?
　　生7：相交。有一个交点。
　　师：第(1)个图形无论怎样延长，都不会有——
　　生：交点。
　　师：看来，我们在研究两条直线的位置关系时，不能光看表面，而是要看实质。同学们，当我们对事物进行分类的时候，如果采用不同的分类标准，将会产生不同的结果。按照我们这节课研究的需要，如果把两条直线按相交和不相交进行分类，你认为应该怎样分?同意谁的观点？
　　
　　师：根据同学们的研究，我们知道了：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交与不相交两种情况。现在，先来研究不相交的情况。
　　师：请看大屏幕(出示一组平行线)，蓝线与红线怎样?
　　生8：红线与蓝线互相平行。
　　生9：红线是蓝线的平行线，蓝线是红线的平行线。
　　师：我们每天都在和平行线打交道，你还能找到哪些物体的边是互相平行的吗?
　　(出示图：黑板、跑道、秋千架、五线谱……)
　　师：能到生活中找一找吗?(生答略)
　　师(出示长方体模型)：你能找到哪些边是平行的吗?为什么?
　　师(将长方体旋转，使两条边不在同一个平面上)：现在它们相交吗?还平行吗?
　　师：哪儿出了问题?我们在研究平行时，要强调什么?
　　生10：两条线一样长。
　　生11：在同一个平面内。
　　师：是呀!两条直线在同一个平面内。
　　出示练习：下面哪组

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　　这是江苏省优秀课中“平行”教学的一个片断。教者首先引导学生观察两枝铅笔(两根小棒)落地所形成的图形，感知平行与垂直的生活原型，把教学定位在操作活动上。然后在此基础上，通过生生、师生间的互动与交流，概括地选取四个有代表性的图形加以研究，对生活的无序进行了有序的整理。这一过程激发了学生求知的兴趣，使学生获得了生动的、初步的感性表象。下面的教学环节，教者巧妙地以“如何分类”为切入点，顺势导出这节课的关键点“相交与不相交”，从线段的相交与不相交引领到直线的相交与不相交。这样，新知与旧知得到了关联，学生的思维得到了充分的展现，并在思维的不断碰撞中，真正领悟“相交”的意义，获得了丰富的数理逻辑经验。最后从生活中找“平行”和动态演示学具的再反思，既是知识的实践化。更是对概念本质的进一步完善、提升与领悟。
　　弗来登塔尔说过：“学一个活动最好的方法是做。”概念的建构，教师应通过合理的情境创设、有效的活动操作，让学生自己去经历概念的形成过程，在做中悟。