【性质与概念】
性质
有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。
函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的;如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性
设f(x)为一个实变量实值函数，则f(x)为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：
f( -x) =- f(x) 几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。
设f(x)为一实变量实值函数，则f(x)为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：
f(x) =f( -x) 几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。
偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。
偶函数不可能是个双射映射。
周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有(x士T)∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。
并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷(Dirichlet)函数。
连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。
设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。
www.gaofen123.com凹凸性
设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，(f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数;如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，(f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。
实函数或虚函数
实函数(Real function)，指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。
虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。
增减性
依y=f(x),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域;(2)将复合函数分解为若干
个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);(3)判断每个常见函数的单调性;(4)将中间
变量的取值范围转化为自变量的取值范围;(5)求出复合函数的单调性。
例如：讨论函数y=0.8^(x²-4x+3)的单调性。
解：函数定义域为R。
令u=x²-4x+3，y=0.8^u。
指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数，
u=x²-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
由同增异减
∴函数y=0.8^(x²-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这
个参数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。
周期性
设y=f(x),的最小正周期为T1，μ=φ(x)的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)
周期函数性质：
(1)若T(T≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。
(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。
(3)若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期。
(4)若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
(5)T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的两个周期，则T1、T2∈Q(Q是有理数集)
(6)若T1、T2是f(x)的两个周期，且 T *是无理数，则f(x)不存在最小正周期。
(7)周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合。
www.gaofen123.com概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量(数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化)，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
发展史
早期概念
十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用“function”(函数)表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
十八世纪
1718年约翰·柏努利(Johann Bernoulli ，瑞士，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1748年，柏努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。
1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
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