【性质与概念】
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，交点式为y=a(x-x1)(x-x2)仅限于与x轴有交点和的抛物线)，与x轴的交点坐标是A(x1,0)和B(x2,0)。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
性质：
1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。当-b/2a=0时，P在y轴上;当△=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c
6.抛物线与x轴交点个数：△=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。△=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。当△=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是减函数，在[-b/2a,+∞) 上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是[(4ac-b^2)/4a,+∞)。
当a<0时，函数在x=-b/2a处取得最大值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是增函数，在[-b/2a,+∞) 上是减函数;抛物线的开口向下;函数的值域是(-∞,(4ac-b^2)/4a]。
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)。
7.定义域：R
值域：当a>0时，值域是[(4ac-b^2)/4a,+∞); 当a<0时，值域是(-∞,(4ac-b^2)/4a]。
奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数;当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。
周期性：无
解析式：
①一般式：y=ax^2+bx+c
⑴a≠0
⑵若a>0，则抛物线开口朝上;若a<0，则抛物线开口朝下;
⑶顶点：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
△=b^2-4ac
若Δ>0，则图象与x轴交于两点：
((-b-√△)/2a,0)和((-b+√△)/2a,0);
若Δ=0，则图象与x轴切于一点：(-b/2a,0);
若Δ<0，图象与x轴无公共点;
②顶点式：y=a(x-h)^2+t
此时，对应顶点为(h,t),其中t=(4ac-b^2)，h==-b/2a;
图象与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点。
www.gaofen123.com表达式：
1)顶点式
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=x^2的图像相同，当x=m时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;
当h<0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
2)交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b^2-4ac≥0]
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上;a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
3)三点式(已知三点求一般式)
方法：
已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式，有：
f(yi)=axi^2+bxi+c(i=1,2,3)
得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
函数图象：
1)基本图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由y=ax^2平移得到的。
2) 轴对称
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图象唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图象的对称轴是y轴(即直线x=0)。是顶点的横坐标(即x=?)。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
3) 顶点
二次函数图象有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a
4) 开口
二次项系数a决定二次函数图象的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图象的开口越小。
5) 决定位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 )，对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
6) 决定交点的因素
常数项c决定二次函数图象与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意：顶点坐标为(h,k)， 与y轴交于(0,C)。
7) 与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图象与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图象与x轴只有1个交点。
质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图象与x轴无交点。
当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小)，二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减函数(即y随x的变大而变大)，二次函数图象的开口向下，函数的值域是y
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
五点法：
五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。
注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点，与x轴交点与y轴交点及其对称点。
【练习题】
选择题：
1. 抛物线y=x^2+3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与x轴、y轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
3. 若抛物线y=ax^2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A.√13 B. √10 C. √15 D. √14
【参考答案】
选择题：
1.C
2.B
3.B