拓扑性质
实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。
R 是可分空间。
Q 在 R 中处处稠密。
R的开集是开区间的联集。
R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
每个R中的有界序列都有收敛子序列。
R是连通且单连通的。
R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
www.gaofen123.com扩展与一般化
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。
实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数(1 , 2 , 3 ...)，而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击;见第一次数学危机。
从古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数;后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。
【练习题】
1、16的平方根是___，算术平方根是___
2、27的立方根是___
3、-125的立方根是___
4、绝对值最小的实数是___
5、如果两个实数的和为零，那么这两个实数一定是___
【参考答案】
1.±4，4
2.3
3.-5
4.0
5.互为相反数
+《实数概念、知识点及练习题》相关文章
- › 实数概念、知识点及练习题
- 在百度中搜索相关文章：实数概念、知识点及练习题