福建省南安市侨光中学2017届高三数学 利用定积分证明数列和型不等式

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利用定积分证明数列和型不等式我们把形如 为 常数或 的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果下面举例说明供参考一、 为常数型例120xx年全国高中数学联赛江苏赛区第二试 第二题已知正整数 ，求证 分析 这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式 ，这个不等式是怎么来的令人费解若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解证明 构造函数 并作图象如图1所示，因函数 在 上是凹函数，由函数图象可知，在区间 上的 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1即： 因为 ，所以 所以 例2 求证 证明 构造函数 ，又 而函数 在 上是凹函数，由图象知，在区间 上的 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图2即 所以 例，大小：428 KB