等比数列概念、知识点及练习题

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　　【性质与概念】

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(Geometric Sequences)。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)且等比数列a1≠ 0。

　　性质

　　(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq;

　　(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

　　(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则

　　{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…

　　{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

　　(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

　　(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。

　　(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

　　求通项方法

　　(1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an

　　构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)

　　a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3

　　所以(a(n+1)+3)/(an+3)=2

　　∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3

　　(2) 定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式。

　　∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b

　　∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1

　　应用

　　等比数列在生活中也是常常运用的。

　　如：银行有一种支付利息的方式——复利。

　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

　　在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

　　【练习题】

　　1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：

　　{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…

　　(第一组) (第二组) (第三组)

　　则1991位于第_____组中。

　　2、设数列的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列满足b1=3,b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，求数列{bn}的前n项和。

　　3、等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于。

　　【参考答案】

　　1.32

　　2.解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①

　　又Sn=2an-1 ②

　　S(n-1)=2(an-1)-1 ③

　　②-③得：Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)

　　∴an=2an-2a(n-1)

　　故an=2a(n-1)

　　∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2^(n-1) ④

　　由⑤ b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，

　　∴以上诸式相加，得{bn-2}={an},

　　∴{bn}=2^(n-1)+2

　　∴Sbn=2^n-1+2*n

　　3.4

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