初三数学难题精选

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1.（本小题满分10分）

　　如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°。

　　⑴求∠A的度数；

　　⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝ ，求图中阴影部分的面积。

　　2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图⑴，直线l上有 、 两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点 、 的距离之和最小，很明显点P的位置可取在 和 之间的任何地方，此时距离之和为 到 的距离。

　　如图⑵，直线l上依次有 、 、 三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点 、 、 的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点 处，此时距离之和为 到 的距离。 （想一想，这是为什么？）不难知道，如果直线l上依次有 、 、 、 四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点 和 之间的任何地方；如果直线l上依次有 、 、 、 、 五个点，则相应点P的位置应取在点 的位置。

　　图⑴

　　图⑵

　　【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为 .

　　【问题一】：若已知直线l上依次有点 、 、 、……、 共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在              ；若已知直线l上依次有点 、 、 、……、 共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在                  .

　　【问题二】：现要求 的最小值，

　　根据问题一的解答思路，可知当x值为         时，上式有最小值为          .

　　3. （本小题满分10分）

　　如图①，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地。甲、乙两车到A 地的距离 、 （千米）与行驶时间 x（时）的关系如图②所示。

　　根据图象进行以下探究：

　　⑴请在图①中标出 A地的位置，并作简要的文字说明；⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义。

　　⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离 与行驶时间x的函数关系式。

　　⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间。

　　4.（本小题满分10分）

　　已知抛物线 （a≠0）的顶点在直线 上，且过点A（4，0）。

　　⑴求这个抛物线的解析式；

　　⑵设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。

　　⑶设点C（1，－3），请在抛物线的对称轴确定一点D，使 的值最大，请直接写出点D的坐标。

　　5.（本小题满分12分）

　　定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

　　⑴如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段         .

　　图1

　　⑵在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由。 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹。

　　图2

　　⑶如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。 若此时AB＝3，BD＝ ，求BC的长。

　　6.（本小题满分12分）

　　已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°。点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止。 设运动时间为t秒。

　　⑴如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；⑵在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；参考答案

　　1.（本小题满分10分）

　　⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°。 ……（1分）∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°。 ……（2分）

　　∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°。 ……（4分）⑵∵CF⊥直径AB， CF＝ ，∴CE＝ ，……（5分）∴在Rt△OCE中，OE＝2，OC＝4. ……（6分）

　　∴ ， .……（8分）

　　∴ ……（10分）

　　2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）问题一：点 处     ……（3分）       点 和 之间的任何地方  ……（6分）问题二：48          ……（8分）       1225                       ……（10分）3. （本小题满分10分）

　　⑴A 地位置如图所示。使点A满足AB ∶AC＝2∶3 . …… （2分）⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时，

　　，∴M（1.2，0） ……（3分）

　　所以点 M表示乙车 1.2 小时到达 A地。…（4分）⑶甲车的函数图象如图所示。      ……（5分）当 时， ；……（6分）

　　当 时， . ……（7分）

　　⑷由题意得 ，得 ；  ，得 .

　　∴  ……（9分）

　　∴两车同时与指挥中心通话的时间为 小时。 ……（10分）4.（本小题满分10分）

　　⑴∵抛物线过点（0，0）、（4，0），

　　∴抛物线的对称轴为直线 . ……（1分）

　　∵顶点在直线 上，  ∴顶点坐标为（2，－2）。 ……（3分）故设抛物线解析式为 ，

　　∵过点（0，0），∴ ，∴抛物线解析式为 ……（5分）⑵当AP∥OB时，

　　如图，∠BOA＝∠OAP＝45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH＝BH.

　　设点B（x，x），故 ，解得x＝6或x＝0（舍去）……（6分）∴B（6，6）。 ……（7分）

　　当OP∥AB时，同理设点B（4－x，x）

　　故 ，解得x＝6或x＝0（舍去），∴B（－2，6） .……（8分）H

　　⑶D（2，－6）。……（10分）

　　5.（本小题满分12分）

　　解：⑴AC；……（1分）

　　⑵作图如图；……（3分）

　　∵点P为AC中点，∴PA＝PC＝ AC.

　　∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝ AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，……（4分）∴点A、B、C、D在以P为圆心， AC为半径的同一个圆上。 ……（5分）⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD，∴四边形ABCD为损矩形，∴由⑵可知，点A、B、C、D在同一个圆上。 ……（7分）∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴ ，∴AD＝CD，∴四边形ACEF为正方形。 ……（9分）

　　∵点BD平分∠ABC，BD＝ ，∴点D到AB、BC的距离h为4，∴ ＝6. ，

　　， ，

　　∵ ，∴ ＋ ＝6＋2BC，

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