初三数学专项培训：勾股定理

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1、（2013昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：   　　①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF;⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点。   　　其中正确的结论有（　　）   　　勾股定理。png   　　A.5个B.4个C.3个D.2个   　　考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断。   　　解答：解：∵四边形ABCD是正方形，   　　∴∠BAC=∠DAC=45°。   　　∵在△APE和△AME中，   　　勾股定理1.png   　　∴△APE≌△AME，故①正确；   　　∴   　　勾股定理2.png   　　同理，   　　勾股定理3.png   　　∵正方形ABCD中AC⊥BD，   　　又∵PE⊥AC，PF⊥BD，   　　∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE   　　∴四边形PEOF是矩形。   　　∴PF=OE，   　　∴PE+PF=OA，   　　又∵   　　勾股定理4.png   　　，   　　∴PM+PN=AC，故②正确；   　　∵四边形PEOF是矩形，   　　∴PE=OF，   　　在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，   　　∴PE2+PF2=PO2，故③正确。   　　∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形。   　　∴PM=PN，   　　又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，   　　∴AP=BP，即P时AB的中点。故⑤正确。   　　故选B.   　　点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键。   TAG:初三数学