初三数学常见题型：一元二次方程

标签：中考数学复习资料,http://www.gaofen123.com 初三数学常见题型：一元二次方程,

　　一元二次方程应用题的常见题型

　　（一）平均增长率型

　　关于增长率的问题，一般有三个常用量，原产量；增长率（降低率）；增长后的产量（降低后的产量）。如果把原产量叫做基数（也做始数）用A表示，把增长后的产量叫做末数用B表示，增长率（下降率）用x表示，时间间隔用n增长率问题的数量关系A（1±x）n=B, 在初中阶段，n通常取 2 .

　　例1：某市为争创全国文明卫生城市，2005年政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元。2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年两年间投入资金的年平均增长率相同。

　　（1）求该市对市区绿化工程投入资金的平均增长率？

　　（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市2012年需要投入的资金是多少万元？

　　分析：此类问题主要考查学生从题目所给的已知条件中提取有价值的信息和利用等量关系建立形如a（1+x）2=b（a>0，b<0），利用直接平方法求解即可。

　　解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2=2420，解得x1=10%，x2=-2.1（舍去）。

　　答：该市对市区工程投入资金的年平均增长率为10%。

　　（2）2012年需投入资金为2420×（1+10%）2=2928.2（万元），答：2012年需投入资金为2928.2万元。

　　（二）方案设计型

　　方案设计型应用题，需要学生通过对已知条件的提取、整理，运用已有知识、经验进行分析，得出等量关系，建立一元二次方程，然后寻求正确方案。此类应用题有利于激发学生学习动机，合作探究意识的培养。

　　例2：如图，在长为40cm，宽为22cm的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的公路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？

　　新初三数学：一元二次方程应用题常见题型解析

　　分析：此类问题是让学生设计满足一定条件的规划方案，有利于培养学生学习数学的兴趣，由已知条件，可知草坪的面积为760m2，设道路的宽为 m，建立等量关系，即可利用解一元二次方程的相关知识，求出满足条件的道路的宽。

　　解法：设道路的宽应为xm，由题意得40x+（22-x）x+760=880，解之得x1=2，x2=60（经检验，不合题意），答：道路的宽度为2米。

　　新初三数学：一元二次方程应用题常见题型解析

　　（三）经营预算型

　　例3：某商场销售一批衬衫，平均每天中售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取区域的降价措施，经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天多盈利1200元，衬衫的单价应降为多少元？

　　分析：如果衬衫的单价降x元，那么商场平均每天可多售出2x件。根据相等关系：售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利=1200可以列出方程求解。

　　解：设衬衫的单价降x元，根据题意，得（20+2x）（40-x）=1200，整理得 x2 -30x + 200 =0，解这个方程，得x1=20，x2=10，答：衬衫的单价降10元或20元。

　　总结：人们在经营销售过程中，为了以最小成本获取利润最大化，常常需要考虑影响利润的供求数量，但由于实际条件的限制，供求量不可能同时达到经济学上的最优值，可能会出现发生供过于求或供不应求，这两种情况都会带来不必要的损失，为此，我们要确定一个适当的量，使总的成本最少或利润最大，通过对此类问题的处理，让学生体会数学的应用价值。

　　（四）动点运动型

　　例4：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC向点C以2cm/s的速度移动。问几秒后，腜DQ的面积等于27cm2 ？

　　分析：此题主要考查学生分析图形及列方程的能力，由图可知，直接求腜BQ的面积较难，可由矩形ABCD的面积减去腄AP、腂PQ、腄CQ的面积间接求得。设运动时间为t秒，可得出分到AP、BP、BQ、CQ的线段长度与时间t之间数量关系进而列方程求解。

　　新初三数学：一元二次方程应用题常见题型解析

　　（五）分类讨论型

　　例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中的收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

　　新初三数学：一元二次方程应用题常见题型解析

　　分析：由于单位员工人数未定，总费固定，收费标准不一，帮需对两种情况进行分别分析，以确定选择哪一种收费标准。

　　解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游，因为，1000×25 = 25000<27000，所以员工人数一定超过25人。根据题意，得[1000－20（x－25）]x=27000，整理，得x2－75x+1350=0，解这个方程，得x1=45，x2=30。

　　当x=45时，1000－20（x－25）=600<700，故舍去x1；当x=30时，1000－20（x－25）=900>700，符合题意。

　　答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游。

　　总结：求解这类问题时，一定要抓住题目已知条件以及对话时所提供的一些关键信息，从中找到等量关系，另外还要分类讨论，从中找出相对应的等量关系建立正确的一元二次方程。

　　（六）循环问题：

　　例6、 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少人。

　　分析：设一人感染了X人，则第一轮后的感染源为x+1人，第二轮是x+1人进行感染 ，第二轮感染了（x+1）x个人，则第二轮后总共被感染了1+x+（x+1）x个人解：设每轮传染中平均一个人传染了x人。

　　列式子为1+x+（x+1）x=121

　　解得：x=10

　　答：每轮传染中平均一个人传染了10人。

　　（七）利用图形探索规律

　　例7.在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

　　图8

　　（1）观察图形，请填写下列表格：

　　正方形边长1357…n（奇数）

　　黑色小正方形个数 …

　　正方形边长2468…n（偶数）

　　黑色小正方形个数 …

　　（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由。

　　解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）。

　　（2）由（1）可知n为偶数时P1=2n，所以P2=n2－2n.根据题意，得n2－2n=5×2n，即n2－12n=0，解得n1=12，n2=0（不合题意，舍去）。所以存在偶数n=12，使得P2=5P1.

　　说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解。

　　（八）其它常见问题

　　1.利润问题

　　利润问题中常用量有：数量、进价（原价，成本价）、售价，单件利润、总利润。

　　，单件利润=售价－进价

　　2.储蓄问题

　　常用量是：时间，本金、利率、利息、本利和。利息=本金×利率3.数字问题

　　要会用数位上的数字来表示该数是关键。

　　4.行程问题：（常见一元一次方程应用）三个量为：路程（S），速度（v），时间（t），关系式： ，1相遇问题的等量关系：二者路程之和=全程

　　2追及问题的等量关系：快者路程=慢者先走路程（或相距路程）+慢者后走的路程。

　　5.工程问题：（常见分式方程应用）常用量是：工作时间、工作效率、工作总量。

　　工作总量=工作时间×工作效率、

　　6.浓度问题：关于浓度问题常见的量有：浓度、溶液、溶质、溶剂。溶液=溶质+溶剂，溶质=溶液×浓度、 。

　　（1）稀释问题常用方法：加溶剂，其等量关系是：

　　稀释前的溶质质量（体积）= 稀释后的溶质质量（体积）

　　（2）加浓问题常用方法：

　　A、加溶质，其等量关系：溶剂不变；B、蒸发溶剂，其等量关系是：溶质不变。

　　（3）混合问题

　　混合前溶液质量（体积）的和=混合后溶液质量（体积）混合前溶质质量（体积）= 混合后溶质质量（体积）

TAG:初三数学