初三数学下册知识点总结：二次函数

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第二十六章　二次函数   　　26.1 二次函数及其图像   　　二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f（x）=ax^2+bx+c（a不为0）。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。   　　一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：   　　一般式   　　y=ax∧2;+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，-（4ac-b∧2）/4a） ;顶点式y=a（x+m）∧2+k（a≠0,a、m、k为常数）或y=a（x-h）∧2+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a（x-x1）（x-x2） [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。   　　牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）   　　y=（y3（x-x1）（x-x2））/（（x3-x1）（x3-x2）+（y2（x-x1）（x-x3））/（（x2-x1）（x2-x3）+（y1（x-x2）（x-x3））/（（x1-x2）（x1-x3） 。由此可引导出交点式的系数a=y1/（x1*x2） （y1为截距）求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。   　　求根公式   　　x是自变量，y是x的二次函数   　　x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac））]/2a   　　（即一元二次方程求根公式）（如右图）   　　求根的方法还有因式分解法和配方法   　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。   　　不同的二次函数图像   　　如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。   　　注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。   　　2画出对称轴，并注明X=什么   　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。   　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。   　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P （ -b/2a ，4ac-b^2;）/4a ）当-b/2a=0时，P在y轴上；当？= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。   　　开口   　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。   　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。   　　|a|越大，则抛物线的开口越小。   　　决定对称轴位置的因素   　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。   　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab< 0 ），对称轴在y轴右。   　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。   　　决定抛物线与y轴交点的因素   　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。   　　抛物线与y轴交于（0，c）   　　抛物线与x轴交点个数   　　6.抛物线与x轴交点个数   　　△= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。   　　△= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。   　　_______   　　?= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b?/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）特殊值的形式7.特殊值的形式   　　①当x=1时 y=a+b+c   　　②当x=-1时 y=a-b+c   　　③当x=2时 y=4a+2b+c   　　④当x=-2时 y=4a-2b+c   　　二次函数的性质   　　8.定义域：R   　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。   　　周期性：无   　　解析式：   　　①y=ax^2+bx+c[一般式]   　　⑴a≠0   　　⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）；⑷？=b^2-4ac,   　　?>0，图象与x轴交于两点：   　　（[-b-√腯/2a，0）和（[-b+√腯/2a，0）；？=0，图象与x轴交于一点：   　　（-b/2a，0）；   　　?<0，图象与x轴无交点；   　　②y=a（x-h）^2+k[顶点式]   　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a;③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=（X1+X2）/2 当a>0 且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。   　　交点式是Y=A（X-X1）（X-X2） 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。   　　26.2 用函数观点看一元二次方程   　　1. 如果抛物线 与x轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数的值是0，因此 就是方程的一个根。   　　2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。   　　26.3 实际问题与二次函数   　　在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。   TAG:知识点  初三数学  二次函数